- •Содержание
- •Введение Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные фигуры изучаются по их проекционным изображениям.
- •1.Основные методы проецирования геометрических
- •1.1. Центральное проецирование
- •1.2. Параллельное проецирование
- •1.3. Ортогональное проецирование
- •Расположение геометрических объектов в октантах пространства
- •3. Ортогональное проецирование прямых
- •Особые положения прямой
- •3.2. Следы прямой
- •3.3. Взаимное положение прямых
- •3.4. Проецирование угла, составленного двумя прямыми
- •3.5. Определение натуральной величины отрезка прямой
- •4. Проецирование плоскостей
- •4.1. Способы задания плоскости
- •4.2. Следы плоскости
- •4.3. Частные случаи расположения плоскости
- •4.4. Линия наибольшего ската плоскости
- •4.5. Горизонталь и фронталь плоскости
- •4.6. Построение следов плоскостей
- •Через точки m’, n’ проводят след pv, через точки m, n – след рн.
- •5. Взаимное расположение точки, прямой и плоскости
- •5.1. Пересечение прямой с плоскостью
- •5.2. Прямая, параллельная плоскости
- •5.3. Прямая, перпендикулярная плоскости
- •5.4. Угол между прямой и плоскостью
- •5.5. Параллельные плоскости
- •5.6. Перпендикулярные плоскости
- •5.7.Пересечение плоскостей
- •5.8. Угол между двумя плоскостями
- •6. Способы преобразований ортогональных проекций
- •6..1. Способ вращения
- •6.2. Способ совмещения
- •6.3. Способ перемены плоскостей проекций
- •6.4. Плоско – параллельное перемещение
- •7. Пересечение поверхности плоскостью развертка поверхности Понятия и определения.
- •7.1 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом граней
- •7.2 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом ребер
- •7.3 Построение линии пересечения поверхности плоскостью способом перемены плоскостей проекций
- •8. Пересечение поверхностей
- •Построение линии пересечения поверхностей с помощью плоскостей, параллельных одной из плоскостей проекций
- •Построение линии пересечения поверхностей с помощью пучка
- •Построение линии пересечения поверхностей с помощью параллельных плоскостей общего положения
- •8.4. Построение линии пересечения поверхностей с помощью сферических
- •8.5. Построение линии пересечения многогранников
- •Литература
1.2. Параллельное проецирование
Пусть задана в пространстве плоскость Р и вектор . Через произвольно расположенные в пространстве точки А, В, С, D,…, N проводятся линии, параллельные вектору . Эти линии пересекают плоскость Р в точках a, b, c, d,…, n. (рис.3)
Параллельной проекцией точки называют точку пересечения проектирующей прямой, проведенной параллельно заданному направлению, с плоскостью проекции. [4]
В параллельных проекциях:
каждая точка и линия в пространстве имеют на плоскости проекций единственную свою проекцию;
каждая точка на плоскости проекций может быть проекцией бесконечного множества точек в пространстве (см. рис.3).
Параллельные проекции делятся на косоугольные и прямоугольные. В первом случае направление проектирования составляет с плоскостью проек-
ции острый угол; во втором случае проектирующие прямые перпендикулярны к плоскости проекции.
В машиностроении наиболее широко применяется параллельное прямоугольное проецирование или ортогональное проецирование. [6, 7]
1.3. Ортогональное проецирование
Ортогональное проецирование представляет собой частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекции.
Основные свойства ортогонального проецирования:
Для построения проекции прямой достаточно спроектировать две ее точки и через полученные проекции точек провести прямую линию (рис. 4).
Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой.
Отрезок прямой линии, параллельный плоскости проекций, проектируется на эту плоскость в натуральную свою величину (линия mn – см. рис.4).
Проекции двух параллельных прямых параллельны между собой.
Ортогональное проецирование, изложенное как метод, появилось в 1799 г. в труде французского ученого Монжа и впоследствии получило название метод Монжа.[3,4].
Метод предусматривает проектирование геометрических объектов на взаимно – перпендикулярные плоскости проекций.
Расположение геометрических объектов в октантах пространства
Три взаимно – перпендикулярные плоскости проекций делят пространство на восемь октантов. (рис.5).
Каждый из восьми октантов представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями служат части плоскостей проекции, а ребрами – оси координат.
В машиностроении вместо изображения на рис. 5 пространственного макета пользуются эпюром – чертежом, составленным из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрического объекта.
При изображении точек геометрических объектов в пространстве и на эпюре используются обозначения [2].
обозначения плоскостей проекций:
Н – горизонтальная плоскость проекции;
V – фронтальная плоскость проекции;
W – профильная плоскость проекции;
Точки в пространстве обозначаются прописными буквами латинского алфавита.
Проекции точек обозначаются строчными буквами:
a – проекция на плоскость H;
a’ - проекция на плоскость V;
a’’ - проекция на плоскость W.
Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей W и Н с плоскостью V путем вращения плоскости Н вокруг оси ОХ и плоскости W – вокруг оси ОZ (см.рис.5).
Эпюр точки, расположенной в различных октантах
Положение точки в пространстве определяется тремя координатами (X,Y,Z), показывающими величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций.[3]
Из рис.5 видно, что точка, расположенная в первом октанте, будет иметь положительными все три координаты.
Для построения эпюр точки А, расположенной в первом октанте, необходимо спроецировать точку на плоскости Н, Y, W, совместить плоскости Н и W с плоскостью V, определить значение Qx, Qy и построить a, a’ , a’’ .
При совмещении плоскостей H и W ось у преобразуется в две оси: yH и yW. Ось уН принадлежит плоскости Н, ось yW - плоскости W.[2]
На рис.6,а показан эпюр точки А, расположенной в первом октанте.
Рассматривается построение эпюр точки В, расположенной во втором октанте. Вначале определяется проекция точки на неподвижную плоскость V – в| (рис. 6,б). Проекция точки В на плоскость Н будет располагаться выше оси Х, поскольку плоскость совместится с плоскостью V. Определяется проекция точки на ось уН – вН , затем проекция точки на ось yW - bW . Положение точек b’ и bw определяет проекцию точки b’’ (см.рис.6,б).
На рис. 7 приведены эпюр точек, расположенных в третьем, четвертом, пятом, шестом, седьмом и восьмом октантах.