8. Предельная точка множества.
Рассматриваем E
R
Определение.
a
называется предельной для множества E
если в
U(a)
x0
E
: x0
a
Множество всех предельных для E точек будет называться E’ : x0 E’
В любой окрестности предельной точки множества E содержится бесконечное число точек из E
Доказательство:
U(x0), x0 E’
Допустим, что в окрестности есть конечное число точек из E неравных x0.
По свойству 3 у нас
U'(x0)
: x1
U'(x0),
U2(x0): x2 U2(x0), Uk(x0) : xk Uk(x0);
U*(x0)
= U'(x0)
U2(x0)
…
Uk(x0)
Получается, что U*(x0) не содержит ни одной из точек x1, x2,…, xk
U(x0) U*(x0)
Из того, что U*(x0) не содержится ни одной из точек x1, x2,…, xk x0 не является предельной для множества E. Получается противоречие конечного числа точек не может быть.
Определение предела.
Определение. Число р, причем может быть конечная и бесконечная (p ) наз-ся пределом функции f(x) при x→x0, которая может быть конечным или бесконечным (x0 ), если значение функции становится как угодно близким к р лишь только х (из области определения)становиться как угодно близким к x0.
Пример: 1) f(x)=x+1, x R , f(3)=4. x→3 f(x)→4
2) f(x)=
x→0
f(x)→
20. Определение (основное определение предела).
Пусть f: X→Y,
E
X,
x0
E
(x0
является
предельной для E)
Число p называется пределом функции f(x) при x→x0 на множестве E, если для любой окрестности U(p) на множестве Е, если для любой окрестности U(p) существует (x0) как только x U(x0)(х попала в проколотую окрестность Е) так сразу попадает в окружность точки р и f(x) U(p); p ;
Формула: U(p) U(x0): x U(x0) E f(x) U(p); p ;
U(x0)
– проколотая окрестность.
-
проколотая окрестность
Определение №2 lim f(x) =:p x→ x0 ,E
Число p
наз-ся
пределом функции f(x) при x→x0
на множестве E, если
U
(p)
U
(
x0)
: x
(
x0)
f(x)
U
(p)
U ( x0) при x0 = (x0- , x0+ ); | x- x0|<
Пользуясь опред №2 можно дать определение предела через неравенства для конкретных вариантов.
x0 и p.
Дадим определение предела:
p=+ , x0 R, p R
+ = lim f(x);
x→ x0 ,E
Е<0 существует >0 : такое что x Е, для которого |x- x0| < |f(x) – p| <
где x E, x x0
9. Общие свойства пределов.
10.
Свойство 1. Если f(x)=C, то есть равно константе, то для x0 равно lim f(x) = C
x→ x0
Свойство 2. Единственность предела. Если существует функции f(x) при x→x0 , то он единственен.
Доказательство. (от обратного)
Пусть p1=lim f(x) U(p1) U'(x0) : x U'(x0) f(x) U(p1)
x→ x0 ,E
и пусть p2=lim f(x) U(p2) U2(x0) : x U2(x0) f(x) U(p2)
x→ x0 ,E
где x E
Выберем U(p1) U(p2) = Ø
Если возьмем x
f(x)
,
чего быть не может.
=Ø =Ø
Свойство №3
Пусть E = E1
U
E2,
x0
E
E
Тогда lim f(x) lim f(x) и lim f(x)
x→ x0 ,E x→ x0 ,E1 x→ x0 ,E2
и равенству между собой всех трёх
пределов.