18.Односторонние пределы.

Пусть E R, x₀ R

E = {x E : x > x₀}

(<)

Определение.

Предел функции f(x) на E при x→ x₀ справа (слева) называется lim f(x) = : lim f(x)

x→ x₀ ,E x→ x₀ +

Пример.

lim 2 = +

x→ 0 +

lim 2 =0

x→ 0-

Теорема.(Критическое существование 2-стороннего предела).

Пусть x₀ (E ) (E ) , тогда для lim f(x) необходимо и достаточно, чтобы

x→ x₀ ,E

существовало оба односторонних предела и были равны между собой.

Предел монотонной функции.

Определение.

Функция f(x) называется возрастающей(убывающей) на E, если x₁, x₂ E : x₁ < x₂

выполняется f(x₁) f(x₂)

( )

Возрастающие и убывающие функции называется монотонными.

Теорема( о пределах монотонной функции).

Пусть

1. x₀ E ; E < x₀ ;

2. f(x) – строго возрастает (убывает) на E, тогда

а) lim f(x) = sup f(x) (inf f(x))

x→ x₀ ,E E E

б) этот предел конечен, если f(x) ограниченна сверху (снизу) и равен + (- ) в противном случае

Доказательство.

f(x) – возрастающая, sup f(x) =:p

E

Возьмем произвольную замкнутую окрестность U (p) и обозначим ее левый конец : < p. По критерию супремума y₁ : y₁ > . y₁ < y₁< p и.

Обозначим через x₁ значение аргумента f(x₁) = y₁

Выберем U (x₀) с левым концом x_1.

19. Второй замечательный предел

lim (1+ )ⁿ = e – второй замечательный предел.

Функция y = (1+ )^x имеет предел не только тогда, когда x = n Z, но и когда x изменяется непрерывно на R.

lim (1+ )^x = e lim (1+ )^x = e

x→ + x→ 0

20. Критерий Больцано – Каши о сходимости последовательности.

Определение.

Последовательность x₁, x₂, x₃,…,x_n называется фундаментальной (или сходящейся в себе) если > 0 Ń( ) N : n, m > Ń( ) то | x_n – x_m | <

т.е. последовательность фундаментальная, если её достаточно далекие члены как угодно мало отличаются друг от друга.

Лемма.

Всякая численная последовательность ограниченна.

Доказательство.

Возьмем = 1. Т.к. x_n – фундаментальная, то Ń : | x_n – x_m | < n, m > Ń

Фиксируем m₀ > N, тогда n > Ń | - x_n | < 1 т.е. -1 < x_n < +1

Если обозначить через a = min{ x₁, x₂, x₃,…,x_n ; -1}

b = max{ x₁, x₂, x₃,…,x_n ; +1}, то получим, что a x_n < b n

Теорема (критерий Больцано – Каши) для сходящейся последовательности.

Для того, чтобы численная последовательность x₁, x₂, x₃,…,x_n сходилсь, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

(Необходимость)

Чтобы последовательность была сходящейся, необходимо, чтобы она была фундаментальной.

x_n – сходящаяся существует lim x_n = : p R(1) n→

> 0 тогда Ń: k > Ń | x_k – p | <

n, m > Ń | x_n – x_m | = | x_n – p + p - x_m | | x_n – p + p - x_m | < | x_n – p| + | p - x_m | <

(Достаточность)

x_n – фундаментальная сходящаяся

x_n – фундаментальная по лемме она является ограниченной по лемме (Б-В) можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

: → p R ( lim = p (2) )

k→ k→

Возьмем > 0

Из (2) K₁ N : | - p | < k > K₁ (3)

Из фундаментальности x_n Ń N : | x_n – x_m | < n, m > Ń (4)

Из (3) ( n_k → + ) : K₀ : K₀ > K₁ и > N

Тогда n > N

Имеем | x_n – p| = | x_n - + - p | < | x_n - | + | - p | < 2

Замечание.

Критерий (Б-К) дает возможность не находя пределы последовательности по поведению её членов (фундаментальность) показать, что она сходится.