7. Приложение 3-ых интегралов

а)объем тела:

б)масса тела:

γ(x,y,z)-поверхностная плотность

в)статистические моменты:

г)центр тяжести тела

8. Криволинейный интеграл 1 рода, опр. ,

св-ва и вычисление:

Св-ва криволин интегр 1 рода:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Вычисление кривол интегр 1-ого рода

а) параметрическое представление

б) явное представление:

в) полярное представление:

9. Криволинейный интегр 2-ого рода, опр., св-ва и вычисление

Если кривая АВ гладкая , а ф-ция P(x,y) Q(x,y) непрерывны на прямой АВб то криволинейный интеграл 2-ого рода существует

Св-ва кр. интегр. 2-ого рода

1.

2.

3.

Если АВ лежит в плоскости ┴ оси ОХ

4. Криволинейные интегр по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки

Вычисление криволин интегр 2-ого рода

а)параметрическое представление

б)явное представление

12 Прил кривол лин инт 1-го рода

1) длина плоской кривой АВ 2) Площ цилиндрической пов. Если направлением цил пов служит кривая АВ прин oxy , обр пораллельной oz , то пл пов задаваемой ф z=f(xy) = 3) Масса кривой 4) Статический момент и центр тяжести. Статистический момент относительно ox и oy материальной кривой АВ равны

2-го рода6 1) площадь плоской фигуры расположенной в плоскости oxy и ограниченной замкнутой кривой можно найти 2) Работа переменной силы Переменная сила F(P(xy),Q(xy)) на криволинейном участке АВ производит работу

10. Формула Остроградского-Грина.

Связь между дв. Инт. По области Д и криволин. Инт. По области L устанавливают формулу Остроградского-Грина.

Пусть на плоскости OXY задана область Д огр. Кривой пересекающееся с прямыми параллельными корд. Осям не более чем в 2 точках, т. е. область Д правильная.

Т1.Если ф. P(x,y), Q(x,y) непрерывно вместе со своими чанными производными ,

области Д то справедлива форм. (ф.Остр.-Гр.)

, L граница области Д и интегрирование вдоль кривой L производится в положительном направлении.До- во.

Т2.Если = (2), то подинтегр. Выражение P*dx+Q*dy явл. Полным диф. Функции U=U(x,y).

P*dx+Q*dy =U(x.y)

Удовлетворяет условию (2) можно найти используя ф.

Зам.1 Чтобы не спутать переменную интегр. X с верхним преднлом ее обозн. Другой буквой.

Зам. 2 в качестве нач точки(x0,Y0) обычно берут точку (0.0)

11. Условие независимости криволинейного инт. 2-го рода от пути интегр.

Пусть т. А (X1, Y1), В(X2, Y2),. Пусть произв. точки области Д. Точки А и B можно соеденить различными линиями. По каждой из них кр. Инт. будет иметь свое значение если же значение по всем кривым одинаково, то интеграл не зависит, от вида пути инт., в этам сл достаточно отметить первонач. Точку А (X1, Y1) и конечную В(X2, Y2).

Т. Для того, чтобы кр. Инт.

Не зависит от пути инт. Области Д в кот. Ф. P(X,Y), Q(X,Y) непрерывны вместе со своими производными и необходимо, чтобы в каждой точке области = Док-во

Кр. Инт. 2-го рода не зависит отпути интегрирования

Зам. = отсюда получаем, что