Задание №3. Нахождение корней нелинейных (трансцендентных) уравнений, используя инструмент «Подбор параметра».
Постановка
задачи. Найти
корни уравнения
на заданном отрезке.
Из курса математики известно, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах этого отрезка значения разных знаков, то внутри этого отрезка содержится, по меньшей мере, один корень уравнения f(x)=0.
Решение. Технология создания рабочего листа «Решение уравнения».
Поскольку все методы вычисления корней уравнения на компьютере итерационные, необходимо задать начальное приближение к корням, число итераций и относительную погрешность.
1. Задание начального приближения. Для локализации корня (задания начального приближения) необходимо функцию протабулировать на заданном отрезке (рисунок 3.1) или построить график.
Из рисунка 3.1 видно, что функция меняет знак между значениями X диапазона [3,2;3,3]. Значит, в этом диапазоне существует корень. В качестве начального приближения Xкорень берем ячейку F3=3, значение функции Y задаем в ячейке F4=3*F3-4*ln(F3)-5.
Рисунок 3.1. Решение уравнения
2. Определив начальное приближение, командой Сервис/Параметры/ вкладка Вычисления задаём относительную погрешность вычислений и предельное число итераций (рисунок 3.2).
Затем нажимаем на кнопку ОК.
Рисунок 3.2. Вкладка Вычисления диалогового окна Параметры
3. Далее выберем команду Сервис/Подбор параметра и заполним диалоговое окно Подбор параметра. Заполнение окна смотрите на рисунке 3.1.
После нажатия кнопки OK инструмент Подбор параметра находит приближенное значение корня, которое помещает в ячейку F3, а значение функции в точке корня – в ячейку F4 (смотрите рисунок 3.3).
Рисунок 3.3. Результаты подбора параметра
Корень определился с точностью равной -0,00024 = -0,24Е-03. Этому значению равна вычисленная функция Y в точке корня равного 3,229826, то есть Y=3*(3,229826)-4*ln(3,229826)-5=-0,00024.
Замечание. Для локализации корня постройте график.
Контрольные вопросы
При каком условии на заданном отрезке существует хотя бы один корень?
Как локализовать корень уравнения на заданном отрезке?
Объясните назначение инструмента «Подбор параметра» и как выполняется подбор параметра – заданного значения начального приближения.
Объясните содержимое окон: «Подбор параметра» и «Результат подбора параметра».
Варианты заданий
-
№
Уравнения
Отрезок, содержащий
корень
Приближенное значение
1
1-x+sinx-ln(1+x)
[0; 1,5]
1,1
2
3x-14+ex-e-x
[1; 3]
2,0
3
[0; 1]
0,5
4
x+cos(x0,52+2)
[0,5; 1]
0,9
5
3ln2x+6lnx-5
[1; 3]
1,8
6
sinx2+cosx2-10x
[0; 1]
0,1
7
x2 - ln(1+x) - 3
[2; 3]
2,0
8
2x*sinx - cosx
[0,4; 1]
0,6
9
[-1; 0]
- 0,2
10
lnx - x + 1,8
[2; 3]
2,8
11
[0,2; 1]
0,5
12
[1; 2]
1,0
13
[1; 2]
1,2
14
[0; 1]
0,4
15
0,6*3x-2,3*x - 3
[2; 3]
2,4
16
[2; 3]
2,2
17
[0; 2]
1,0
18
[0,4; 1]
0,7
19
[0; 0,85]
0,2
20
[1; 2]
1,1
21
[0; 0,8]
0,3
22
[0; 1]
0,5
23
[2; 4]
3,2
24
[1; 2]
1,8
25
[0; 1]
0,7
26
[0; 1]
0,8
27
[1; 3]
1,3
28
[1,2; 2]
1,3
29
ex+lnx-10x
[3; 4]
3,5
30
[1; 2]
1,0