12И13 Теорема об изменении момента количества движения материальной точки

(K – момент количества движения)

Центральная сила – вектор силы направлен в одну точку.

Секторная скорость:

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы

Главным моментом количеств движения (кинетическим моментом) материальной системы относительно центра O называется векторная величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно того же центра.

Теорема об изменении момента количеств движения материальной системы.

Следствие:

1) Виды силы не влияют на уравнение

2) Если , то

3) Если , то

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Тело не свободное. По принципу отбрасываем связи и заменим их силами реакции. В неподвижной системе координат уравнения движения записываются :

14Кинетическая энергия системы – скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетической энергий всех точек системы:  . Если система состоит из нескольких тел, то Т = åТ_к. Поступательное движение: Т_пост= . Вращательное движ-ие: Т_вр= , J_z– момент инерции относительно оси вращения. Плоскопараллельное (плоское) движ-ие:

Т_пл= + ,  v_C – скорость центра масс. Общий случай: Т= + , J_CP– момент инерции тела относительно мгновенной оси. Теорема Кенига: Т= +  – кинетич. энергия мех. сист. = сумме кинетич. энергии центра масс системы, масса которого равна массе всей системы, и кинетич. энергии этой системы в ее относительном движении относительно центра масс. Работа силы:  , работа момента:  . Мощность: N= Fv,  N=M_zw.

15Теорема об изменении кинетической энергии системы: в дифференциальной форме: dT =  ,   ,   – элементарные работы, действующих на точку внешних и внутренних сил, в конечной форме:

Т₂ – Т₁=  . Для неизменяемой системы   и   Т₂ – Т₁=  , т.е. изменение кинетической энергии твердого тела на некотором перемещении равно сумме работ внешних сил, действующих на тело на этом перемещении. Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными. Коэффициент полезного действия (кпд): < 1, А_{пол.сопр.} – работа полезных сил сопротивления (сил, для которых предназначена машина), А_затр= А_{пол.сопр.}+ А_{вр.сопр.} – затраченная работа, А_{вр.сопр.}-– работа вредных сил сопротивления (силы трения, сопротивления воздуха и т.п.).h= N_маш/N_дв,  N_маш – полезная мощность машины, N_дв – мощность дв-ля, приводящего ее в движение

23 Осевой момент инерции кольца

Относительно оси Z , перпендик. К плоскости кольца и проходящей через его центр

Имеем:

Относительно оси лежащей в плоскости кольца

Применим третью теорему о моментах инерции. Так как то следовательно

Момент инерции круглой пластинки

Относительно оси перпендикулярной плоскости пластинки и проходящей через ее центр (оси Z)

Разобъем пластинку на отдельные элементарные части ( кольца) и найдем момент инерции одной такой части

Просуммируем и перейдем в пределе к интегралу

выделим теперь массу пластинки и определим момент ее инерции

относительно оси лежащей в плоскости пластины так как то тогда

Момент инерции цилиндра

Относительно оси Z совпадающей с осью цилиндра

Разбивая цилиндр на отдельные элементарные части (диски) находим момент инерции одного диска суммируя эти выражения получим

Относительно оси х проходящей через центр тяжести цилиндра параллельно основанию

Разбиваем цилиндр на элементарные части толщиной Через элементарную часть проводим вспомогательную ось Применяем теорему Штейнера.

Суммируем и переходим в пределе к интегралу

Выделяем массу цилиндра и получаем