9.3.4 Передаточные функции с ограниченной добротностью полюсов
Применяя методы аппроксимации частотных характеристик, известные из теории классических LС-фильтров, разработчики АФ столкнулись с проблемой высокой добротности получаемых при этом комплексных пар полюсов передаточных функций и низкой линейности характеристик разрабатываемых устройств.
Стало совершенно очевидным, что традиционные подходы здесь неприемлемы и необходимо разрабатывать способы получения передаточных функций АФ с минимальными значениями добротности комплексных пар полюсов.
Для этой цели может быть использована дробь Чебышева:
,
(9.92)
где
-
разность степеней полиномов числителя
и знаменателя дроби;
-
степень полинома числителя дроби;
-
корни знаменателя дроби;
-кратность корня знаменателя дроби.
Выражение (9.92) может быть записано в следующем виде:
.
(9.93)
Классическая
LС-аппроксимация с действительными
нулями передачи следует из (9.93) при
:
(9.94)
Передаточная
функция с мнимыми нулями следует из
(9.93) при
.
(9.95)
Для повышения крутизны спада АЧХ в переходной полосе целесообразно часть нулей располагать на оси j комплексной плоскости, в связи с чем весьма перспективным является использование дробей Чебышева, обладающих комбинацией чисто мнимых и вещественных полюсов:
где r—число чисто мнимых полюсов дроби;
s—число вещественных полюсов дроби.
Для удобства Fn() записывают в виде Fhrs().
Дроби низших степеней для (9.95) определяются согласно выражениям:
,
(9.96)
.
(9.97)
Используя известное выражение
,
для F110 получим
, (9.98)
что соответствует передаточной функции
.
(9.99)
Диаграмма полюсов и нулей полученной функции представлена на рис.9.22. Она содержит пару комплексно-сопряженных полюсов p1, p2 и нуль z1. Устройство, реализующее такую передаточную функцию, изображено на рис. 9.23.
Рис.9.22
Рис.9.23
Передаточные функции с мнимыми нулями передачи имеют существенно меньшие значения добротности комплексных пар полюсов по сравнению с передаточными функциями, имеющими действительные нули передачи. По этой причине они могут быть рекомендованы для синтеза линейных АФ, к которым предъявляются высокие требования по нелинейным параметрам.
Из рис.9.24 легко установить, что при заданной неравномерности характеристики в полосе прозрачности (кривая 1) именно введение комплексного нуля передачи (кривая 4) позволяет уменьшить "выброс" АЧХ, получаемый за счет комплексной пары полюсов (кривая 3), а следовательно, и ее добротность. Для сравнения на рисунке при той же неравномерности коэффициента передачи приведена характеристика, получаемая только за счет одной пары комплексных полюсов (кривая 2), т.е. при классической Чебышевской аппроксимации.
Рис.9.24
Таким образом,
уменьшение добротности полюсов возможно
за счет уменьшения скорости изменения
аппроксимирующих функций в области,
соответствующей границе полосы
прозрачности
.
Следует отметить еще одну характерную
особенность низкодобротных равноволновых
аппроксимаций - это удаление "волн"
АЧХ от границы полосы прозрачности.
Недостаток всех способов уменьшения добротности полюсов при заданной неравномерности коэффициента передачи заключается в уменьшении крутизны спада характеристики в переходной полосе и, соответственно, уровня затухания в полосе задержания. Это вызывает необходимость увеличения порядка передаточной функции. Таким образом, осуществляется "размен" между величиной добротности полюсов и порядком передаточной функции.
Весьма эффективным методом уменьшения добротности критической пары полюсов является метод кратных полюсов. Согласно этому методу критическая пара полюсов заменяется комбинацией из четного числа пар полюсов с меньшей добротностью, формирующей требуемую форму АЧХ. На практике при каскадной реализации активного фильтра звено с критической парой полюсов заменяется каскадным соединением звеньев с меньшей добротностью. Коэффициент передачи каскадного соединения должен равняться передаче звена с критической добротностью. На рис.9.25 АЧХ, формируемая критической парой (кривая 1), заменяется “двойной” кривой 2. Это означает, что значения передачи, соответствующие кривой 2 в дБ необходимо удвоить или возвести в квадрат в абсолютных значения, т.к. таких звена будет два. В результате каждое звено в отдельности будет обеспечивать меньшую добротность, а, следовательно, и иметь меньшее значение модуля функции чувствительности.
Рис. 9.25