Расчет ломаного бруса.

Ломаным брусом называют брус, ось которого представляет ломаную линию.

Каждый участок ломаного бруса жестко закреплен к последующему. Это позволяет рассматривать участки , , и т. д. как консольные, жестко защемленные в месте крепления с последующим.

Анализ действующих усилий и деформаций, ими вызываемых, упрощается, если в соответствии с принципом независимости действия сил, представить схему под действием каждой из нагрузок отдельно.

Пример решения задачи №9

Для ломаного бруса (рис. 9.1) построить эпюры изгибающих и крутящих моментов.

Рис. 9.1.

Представим расчетную схему в виде двух (рис. 9.2), с независимо действующими нагрузками (схема 1) и (схема 2).

Рис. 9.2.

Схема 1.

На участках и нагрузка отсутствует. На участках и под действием равномерно распределенной нагрузки происходит изгиб.

Используя метод сечений, определяем изгибающие моменты на участке (сечение ) и (сечение ) соответственно:

, ; , .

При : , при : .

При : , при :

Эпюра изгибающих моментов от нагрузки построена на сжатых волокнах и представлена на рис. 9.3.

Рис. 9.3.

Схема 2.

На участке нагрузка отсутствует. На участке под действием силы происходит изгиб. Сжаты верхние волокна.

, ,

при : , при : .

Определяя внутренние усилия, имеющие место на участке воспользуемся теоремой о параллельном переносе силы.

Рис. 9.4.

Перенесем, действующую в точке , нагрузку в начало участка . При параллельном переносе образуется изгибающее для участка усилие и пара сил с моментом , который является для этого участка скручивающим против часовой стрелки.

Таким образом на участке имеет место одновременно кручение и изгиб. Эпюры и представлены на рис. 9.6 (а и б)

, ,

,

при : , при : .

Рассматриваем участок . Нагрузки, пришедшие с участка на участок , покажем на рис. 9.5. Момент пары переносим в своей плоскости, помещая его на участок . Он является для этого участка изгибающим (сжатые волокна внизу).

Рис. 9.5.

Перенося силу в точку получаем пару сил с моментом , который расположен в плоскости перпендикулярной оси участка , а следовательно является скручивающим (против часовой стрелки). Сила , которая теперь оказалась на участке , вызывает изгиб (сжатые волокна сверху). Эпюры внутренних усилий, появляющихся вследствие действия силы , представлены на рис. 9.6.

Суммируя изгибающие моменты на участке получаем результирующую одновременного действия усилий и . Изгибающие моменты в точках и :

, .

Наиболее опасно сечение, в котором расчетное значение момента имеет максимальную величину.

Рис. 9.6.

Задача решена.

Совместное действие изгиба и кручения.

В условиях совместного действия изгиба и кручения работают все виды валов. Пример расчёта вала приведён далее. Для понимания методики расчета рассмотрим стержень, загруженный крутящим моментом и изгибающей нагрузкой .

Рис. 10.1

1. Определяем внутренние усилия и строим эпюры крутящих и изгибающих моментов.

2. Определяем положение опасного сечения.

В рассматриваемой схеме оно расположено в опорном сечении. В опасном сечении одновременно действуют нормальные и касательные напряжения. Картина их распределения в сечении представлена на рис. 10.2.

Рис. 10.2

Наибольшее напряжение при кручении имеет место во всех точках, расположенных на поверхности вала.

Наибольшее напряжение от изгиба действует в точках и наиболее удаленных от нейтральной оси .

Бесконечно малый элемент, выделенный в опасных точках или находится в плоском напряженном состоянии. Проверка прочности в таком случаи ведётся на основании теорий прочности. Так по третьей теории прочности (теории наибольших касательных напряжений) подсчитывают эквивалентное напряжение

,

Здесь , .

Подставляя, получаем

.

Отсюда .

Задача №10.

Вал ременной передачи (рис. 10.3), вращающийся со скоростью , получает через шкив мощность . Через шкив мощность вала передается на исполнительное звено. Определить диаметр вала. Угол наклона ремней первого шкива , второго шкива . Диаметр шкивов , , , , , . Весом вала и шкивов можно пренебречь.

Рис. 10.3.

Пример решения задачи №10:

Определяем крутящий момент

и строим эпюру крутящих моментов (рис. 10.4. а).

Скручивание происходит на участках и между двумя шкивами (рис. 10.4. а)

Рис. 10.4.

Так как угол охвата ременной передачи соотношение усилий в набегающей и сбегающей ветвях . Определяем натяжение ремней. Заменим усилия , , , статически эквивалентной системой сил, перенося силы, действующие на шкивы в центр вала.

Рис. 10.5.

В результате параллельного переноса сил получаем скручивающие моменты

и

и изгибающие усилия

,

действующее в месте крепления первого шкива, и

,

действующее в месте крепления второго шкива.

Усилия натяжения ремней

, .

Изгибающие усилия , действуют в разных плоскостях.

Рис. 10.6.

Определяем проекции сил на вертикальную и горизонтальную оси

, ,

, .

Это позволяет представить схемы действия изгибающих нагрузок в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 10.4. б и 10.4. г).

Рассматриваем изгиб в вертикальной плоскости (рис. 10.4. б).

1. Определяем опорные реакции

,

,

,

.

2. Строим эпюру изгибающих моментов в вертикальной плоскости (рис. 10.4. в).

Рассматриваем изгиб в горизонтальной плоскости (рис. 10.4. г).

1. Определяем опорные реакции

,

,

,

.

2. Строим эпюру изгибающих моментов в горизонтальной плоскости (рис. 10.4. д).

Для определения положения опасного сечения от изгиба, строим эпюру результирующих изгибающих моментов (рис. 10.4. е)

.

Судя по эпюре, опасным является сечение, расположенное над опорой , так как в этом сечении действует наибольший изгибающий момент . В этом же сечении одновременно действует крутящий момент .

Следовательно в сечении одновременно действуют нормальные и касательные напряжения.

Используя четвертую теорию прочности (энергетическую), определяем эквивалентное напряжение

,

используя условие прочности , определяем необходимый момент сопротивления поперечного сечения вала

,

,

,

принимаем диаметр вала .

Задача решена.

Расчет статически неопределимых рам.

Статически неопределимой (СН) рамой называется стержневая система, неизменяемость которой обеспечивается жесткими соединениями стержней в узлах.

Для расчета СН рам применяют метод сил. Отбрасывая "лишние" связи получаем из заданной (рис. 11.1. а) различные варианты основных систем (ОС). Действие отброшенных связей заменяем неизвестными усилиями , (рис. 11.1. б, 11.1. в).

Сечения, где приложены эти силы, не могут перемещаться в направлении их действия.

Условия отсутствия перемещения в направлении действия силы записывают в канонической форме:

, (1)

аналогично в направлении действия :

. (2)

Здесь и – полное перемещение в направлении действия силы и соответственно;

, – перемещение в направлении действия сил и от активных сил, действующих на систему (силы заданные по условию задачи);

– перемещение в направлении действия силы от неизвестной силы ;

– перемещение в направлении действия силы от ;

– перемещение в направлении действия силы от неизвестной силы ;

– перемещение в направлении действия силы от ;

– в соответствии с теоремой о взаимности перемещений;

– перемещение в направлении действия силы от неизвестной силы ;

– перемещение в направлении действия силы от .

Уравнения (1) и (2) называют каноническими.

Рис. 11.1. Возможные варианты основных систем б), в).

Число канонических уравнений равно числу «лишних» связей.

Для ОС, приведенной на рис. 11.1. б, необходимо записать два канонических уравнения в форме (1), (2).

Здесь и – линейные перемещения в направлении действия сил и .

Для ОС, приведенной на рис. 11.1. в, записывают два канонических уравнения аналогично, но в этом случаи – линейное перемещение в направлении действия силы , а – угловое перемещение в направлении действия момента .

Для определения коэффициентов , , используется способ Верещагина.

. (3)

Здесь – площадь эпюры изгибающих моментов от той нагрузки, перемещение от которой определяют. Эту эпюру называют «грузовой». Суммирование означает, что следует учесть все участки. Для определения необходимо построить эпюру изгибающих моментов от усилия , в направлении действия которого определяют перемещение. При этом усилие берется равным единице. Эту эпюру называют «единичной».

– есть значение момента, взятого с «единичной» эпюры под центром тяжести «грузовой».

– жесткость рассматриваемого участка.

1. При отбрасывании «лишних» связей необходимо обеспечить геометрическую неизменяемость системы.

2. Перемещения c одинаковыми индексами всегда больше нуля.

3. Перемещения .

4. Эпюры изгибающих моментов следует располагать на растянутых волокнах.

5. , если эпюры от единичных усилий и расположены по одну сторону рамы, в противном случае.

6. Значения площадей и положения ЦТ для параболически очерченных эпюр приведены на рис. 11.2.

Рис. 11.2.

Пример решение задачи №11.

Построить эпюру внутренних усилий, действующих в раме (рис. 11.3. а). Жесткость на всех участках одинакова.

Рис.  11.3.

Решение:

Для определения внутренних усилий необходимо знать все внешние, действующие на систему. В нашем случаи неизвестны опорные реакции ( , , и ). Неизвестных 4. Привлекаем для их определения уравнения равновесия. Их всего 3

1) , 2) , 3) .

Убеждаемся в наличии лишних связей.

Задача один раз статически неопределима.

Удаляем лишнюю связь, делая систему статически определимой. В рассматриваемой системе можно отбросить шарнирную подвижную опору в точке . На рисунке 11.3. б представлена основная система. Заменяем действие отброшенной связи неизвестной силой .

В полученной системе (СО) возможно перемещение точки . Отражая это перемещение в канонической форме, приравниваем его нулю, т. к. на самом деле это опорное сечение

.

Для определения коэффициентов , выражающих возможные перемещения воспользуемся способом Верещагина.

1. Строим эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки . (Рис. 11.4. а).

2. Строим эпюру изгибающих моментов от силы . (Рис. 11.4. б)

Определение внутренних усилий ведем методом сечений. Их необходимо сделать на вертикальном и горизонтальном участках рамы «грузовая» и «единичная» эпюры представлены на рисунках 11.4. а, 11.4. б.

Рис. 11.4.

Для определения вычисляем площади на «грузовой» эпюре и определяем положение их центров тяжести

, .

Положение центров тяжести фигур , указано

.

Здесь – значение момента от силы в сечении, где расположен центр тяжести «грузовой» эпюры

, .

Замечаем, что «грузовая» и единичная эпюры расположены по разные стороны от оси балки. Произведение имеет отрицательный знак

.

Определяя понимаем, что «грузовая» эпюра от и «единичная» – одно и тоже.

Здесь , ,

.

Подставляя полученное, решаем каноническое уравнение

, .

Получившееся положительное значение свидетельствует о том, что принятое направление соответствует истинному.

Теперь можно построить эпюру изгибающих моментов для заданной системы.

Рис. 11.5.

, ,

(параболическая зависимость).

Значения откладываем со стороны растянутых волокон. Однако, т. к. зависимость параболическая, необходимо провести исследование на экстремум

, при , .

Вычислим промежуточное значение

: .

Проводим параболу по трем точкам

: ,

(линейная зависимость)

,

при : ,

(растяжение волокна вверху)

при : ,

(растяжение волокна по другую сторону от оси)

Построение эпюр напряженных и перерезывающих сил.

О пределяя и воспользуемся известным правилом знаков. Нормальное усилие, направленное к сечению означает сжатие и принимается со знаком . Перерезывающее усилие, вызывающее сдвиг против часовой стрелки, принимается со знаком .

Для определения и используем метод сечений.

Рис. 11.6.

(сжатие), (сжатие),

(сдвиг по часовой стрелки),

(сдвиг против часовой стрелки).

Рис. 11.7. Эпюры нормальных и поперечных сил.

Задача решена.

Устойчивость сжатых стержней (продольный изгиб).

Примером потери устойчивости является искривление длинного тонкого стержня, воспринимающего сжимающую нагрузку. Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия является устойчивой, называется критической. Напряжение, соответствующее критической нагрузке, называют критическим напряжением. Значения их зависят от гибкости системы. В зависимости от диапазона гибкости, применяют различные методики для определения критических нагрузок и напряжений.

Гибкость стержня определяется следующим соотношением

, (1)

где – длина стержня;

– коэффициент приведения длины стержня, зависящий от способов его закрепления;

– радиус инерции поперечного сечения стержня .

– наименьший из моментов инерции относительно главных осей поперечного сечения стержня (стойки);

– площадь поперечного сечения.

При гибкости менее потери устойчивости не происходит и оценка напряжения ведется также как при сжатии.

В интервале расчет ведут по формуле Ясинского

, (2)

где и – эмпирически найденные коэффициенты, зависящие от свойств материалов.

При гибкости критическое напряжение определяют по формуле Эйлера

, (3)

(интервал гибкости назван для стали).

В инженерной практике применяется универсальная методика расчета с применением коэффициента снижения напряжения .

С учетом возможности потери устойчивости условие прочности для сжатой стойки

, (4)

где . (5)

Коэффициент выбирают из таблиц с учетом материала и гибкости стержня.

Пример решения задачи №12

Определить размеры поперечного сечения стального стержня

а) б) поперечное сечение стойки.

Рис. 12.1.

Дано: , , , , .

1. Вычисляем геометрические характеристики поперечного сечения стойки.

Внутренние размеры сечения:

, ,

площадь поперечного сечения:

,

момент инерции сечения:

,

радиус инерции сечения:

,

условие устойчивости:

,

отсюда:

.

Так как в этом соотношении два неизвестных и , подбор сечения ведут путем последовательных приближений.

В первом приближении принимаем . Вычисляем требуемую площадь

.

Следовательно можно определить размер :

, .

Определяем радиус инерции сечения:

.

Гибкость стержня:

.

Из таблиц зависимости от путем интерполяции находим коэффициент снижения напряжений, соответствующий полученной гибкости: при ,

при .

Гибкости соответствует . Он несколько отличается от принятого.

Во втором, приближении задаемся значением равным среднему арифметическому между принятым первоначально и полученным в первом приближении . Тогда требуемая площадь:

,

размер поперечного сечения:

.

Радиус инерции:

,

гибкость стержня:

.

Гибкости соответствует .

Проверяем напряжение:

.

Перенапряжение составляет:

,

что допустимо.

Если желаемый результат не достигнут во втором приближении, принимаем

и продолжаем расчет.

Задача решена.