Упругие колебания.

Упругая система, выведенная из равновесия, приходит в колебательное движение. Поэтому напряжения и деформации периодически меняют свой знак. Колебания, обусловленные действием сил упругости, называются свободными или собственными (оттянутая, и затем отпущенная струна, балка после удара). Колебания упругой системы могут быть вызваны внешними силами, периодически меняющимися во времени. Такие колебания называются вынужденными.

Подобный случай имеет место, если на балке расположена машина с вращающимся грузом, имеющим эксцентриситет по отношению к оси вращения, рис. 13.1. Число колебаний, совершаемых массой в единицу времени, называют частотой колебаний . В случае приближения частоты к частоте собственных колебаний , наступает явление резонанса, при котором амплитуда (наибольшее отклонение точки от статически равновесного положения) становится очень большой, что грозит разрушением конструкции. Расхождение между частотами и должно быть не менее 20 %.

Рис. 13.1.

В случае вынужденных колебаний нельзя ограничиться проверкой на резонанс. Возмущающая сила дает повышенные значения деформаций и напряжений по сравнению со статическим случаем.

Влияние динамического характера возмущающей силы может быть. учтено введением динамического коэффициента.

,

– статическая деформация от наибольшей величины возмущающей силы , – статическая деформация от груза , – коэффициент нарастания колебаний.

Пример решения задачи №13

На двух балках двутаврового сечения №27 установлен двигатель весом , делающий . Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей, равна . Требуется провести проверку на резонанс. Определить максимальные напряжения в балках. Длина балки .

Решение:

1. Обращаемся в таблицу прокатных сортаментов. Геометрические характеристики двутаврового профиля №27:

,

.

2. Определяем частоту собственных колебаний:

,

где – ускорение свободного падения, – статический прогиб в месте приложения сосредоточенной силы , который может быть определен способом Верещагина:

,

– площадь «грузовой» эпюры, – значение под центром тяжести грузовой эпюры .

Таким образом

.

Рис. 13.2

3. Определяем частоту возмущающей силы или частоту вынужденных колебаний:

.

4. Вычисляем коэффициент нарастания колебаний:

.

5. Находим динамический коэффициент:

.

6. Определяем максимальное нормальное напряжение:

, .

Коэффициент 2 последнем соотношении соответствует:

.

Задача решена.

Динамическое действие нагрузок. Учет сил инерции.

Все расчетные методы сопротивления материалов связаны с условиями равновесия и относятся к телу, находящемуся в покое. Если тело движется с ускорением или вращается, то возникают инерционные нагрузки. Для их учета используется принцип Даламбера, смысл которого в том, что если к телу приложить силы инерции, то совокупность заданных статических нагрузок и инерционных сил образует равновесную систему.

Порядок решения задачи №15:

1. Определить силы инерции, действующие на участках ломаного стержня и представить их графически.

2. Определить реакции в опорах от действующих инерционных нагрузок.

3. Построить эпюры изгибающих моментов для всех участков.

4. Определить положение опасного сечения и значение расчетного изгибающего момента.

5. Определить допускаемое число оборотов валика, исходя из условия прочности.

Пример решения задачи №15.

Валик вращается с постоянной угловой скоростью. Найти допускаемое число оборотов при известном допускаемом напряжении и удельном весе материала, из которого выполнена конструкция . Размеры элементов указаны на рис. 15.1.

Рис. 15.1.

Решение:

1. При вращении валика вокруг собственной оси в элементах его развиваются силы инерции, называемые центробежными. В случае равномерного вращения сила инерции, развиваемая элементарной массой

,

где – центростремительное ускорение ;

– угловая скорость ;

– расстояние от рассматриваемой точки массой до оси вращения.

Направлена сила инерции от оси вращения.

Следовательно, сила инерции на участке распределяется по линейному закону:

при : ,

при : .

, где – ускорение свободного падения.

Тогда:

.

Инерционная нагрузка на участок постоянна, т. к. все его точки одинаково удалены от оси вращения.

Интенсивность равномерно распределенной нагрузки равна .

Ломаный брус с действующими на него нагрузками представлен на рис. 15.2. Следует помнить, что силы инерции на участке CD действуют вдоль оси.

Рис. 15.2.

2. Определение опорных реакций и .

Заменяем распределенные инерционные нагрузки их равнодействующими:

– приложена в центре участка .

– действует вдоль оси участка .

Записываем условия равновесия и определяем опорные реакции:

1. , ,

1. , .

3. Построение эпюр изгибающих моментов.

Записываем выражения изгибающих моментов для каждого участка ломанного бруска:

участок : , ,

участок : , ,

участок : , ,

участок : , ,

участок : .

Результаты расчетов представлены на рис. 15.3.

Рис. 15.3.

4. Опасное сечение находится над опорой в точке :

.

5. Определяем допускаемое число оборотов валика. Исходя из условия прочности:

.

Отсюда:

,

здесь

,

допускаемая величина интенсивности инерционной нагрузки:

при , , :

,

учитывая,

, ,

получаем

.

Задача решена.