- •1. Основные постулаты специальной теории относительности
- •1.1. Представления о пространстве и времени в классической механике
- •1.2. Опыт Майкельсона–Морли
- •1.3. Опыт Физо
- •1.4. Баллистическая гипотеза
- •1.5. Постулаты специальной теории относительности
- •2. Кинематика специальной теории относительности
- •2.1. Относительность одновременности в специальной теории относительности
- •2.2. Синхронизация часов
- •2.3. Преобразования Лоренца
- •2.4. Следствия из преобразований Лоренца Одновременность событий в разных системах отсчета
- •Лоренцево сокращение длины
- •Замедление хода движущихся часов
- •2.5. Интервал
- •2.6. Сложение скоростей в теории относительности
- •3. Релятивистская динамика
- •3.1. Релятивистское уравнение движения
- •3.2. Закон сохранения энергии в релятивистской механике
- •3.3. Четырехмерные векторы
- •3.4. Преобразование сил в релятивистской механике
- •3.5. Система релятивистских частиц
- •3.6. Система невзаимодействующих частиц
- •3.7. Столкновение двух частиц
- •Содержание
- •634050, Томск, пр. Ленина, 34а, тел. (382-2) 23-33-35
3.3. Четырехмерные векторы
Геометрическая интерпретация объединения трехмерного пространства и времени в четырехмерное многообразие имеет глубокий физический и математический смысл. Формулы Лоренца принимают симметричный вид и рассматриваются как формулы преобразования координат при вращении четырехмерной координатной системы. Обозначим координаты мировой точки (события) через x1=x; x2=y; x3=z; x4=ict. Тогда формулы преобразования Лоренца можно представить в виде:
,
,
,
.
Коэффициенты образуют матрицу преобразований
.
Положение мировой точки в четырехмерном пространстве-времени можно задать с помощью радиус-вектора с компонентами и . Вектор называется четырехмерным вектором, компоненты которого , преобразуются по формулам
.
Непосредственной проверкой можно показать, что коэффициенты удовлетворяют следующим важным соотношениям:
,
.
Преобразования координат с коэффициентами , удовлетворяющими этим соотношениям, называются ортогональными. Важным свойством этих преобразований является неизменность значения квадрата этого четырехмерного вектора, который является инвариантом:
.
Пространственные составляющие можно объединить в обычный трехмерный вектор , тогда четырехвектор можно представить в виде пространственной и временной составляющих , а инвариант записать как
.
Рассмотрим применение четырехмерного вектора для решения ряда задач. Определим четырехмерный вектор импульса-энергии. Пусть частица движется со скоростью в системе S. Компоненты импульса в этой системе равны
, , .
Найдем выражения для этих компонент в системе S'. Это легко сделать, если показать, что четырехмерный вектор с компонентами и преобразуется как вектор с компонентами x, y, z, ict. Для этого воспользуемся собственным временем, которое является инвариантом .
Тогда
,
,
,
.
В правой части этих соотношений – инварианты, поэтому левые части преобразуются как компоненты четырехмерного вектора (x, y, z, ict) по формулам
, , .
Инвариантом этого четырехмерного вектора является величина
.
Для покоящейся частицы , поэтому можно записать
,
отсюда
.
Эти формулы являются следствием того, что совокупность величин , образуют четырехмерный вектор.
Тем самым в теории относительности законы сохранения энергии и импульса перестают быть независимыми, а объединяются в единый закон сохранения четырехмерного вектора энергии-импульса.
Для системы невзаимодействующих частиц, а также частиц, взаимодействующих только при столкновениях, четырехмерный вектор энергии-импульса определяется как сумма четырехмерных векторов энергии-импульса этих частиц.
Так как при любых столкновениях сохраняется трехмерный вектор импульса, то должна сохраняться и временная компонента этого вектора. Вместе с энергией сохраняется и релятивистская масса, только она может по разному распределяться между массой покоя и массой, связанной с кинетической энергией макроскопического движения.
3.4. Преобразование сил в релятивистской механике
Закон преобразования силы при переходе от одной системы координат к другой можно получить, исходя из релятивистской инвариантности уравнения движения. Пусть, как обычно, система координат S' движется относительно системы S в направлении положительных значений оси x со скоростью . Рассмотрим движение материальной точки под действием сил. Пусть проекции силы в системе координат S' равны (F'x, F'y, F'z), а в S – (Fx, Fy, Fz). В общем случае соответствующие проекции этих сил в различных системах координат не равны между собой. Однако между ними имеются вполне определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, то есть их одинаковый вид в различных системах координат:
, , ; (3.3)
, , .
Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца:
, , ,
где E'=m'c2 – полная энергия материальной точки.
Формулы (3.3) теперь приведутся к виду
(3.4)
Далее воспользуемся формулой
, (3.5)
где – скорость точки в системе S'. Эта формула выражает закон сохранения энергии в системе координат S'. Найдем, исходя из преобразований Лоренца, производную
.
Тогда соотношения (3.4) приведутся к виду
(3.6)
И, наконец, воспользуемся релятивистскими формулами сложения скоростей:
, , . (3.7)
Если подставить (3.7) в (3.6), то мы придем к следующему закону преобразования сил:
(3.8)
Таким образом мы выразили силу в системе координат S через силу в системе S'. По принципу относительности нетрудно написать и обратные формулы преобразования. При выводе этих формул не делалось никаких предположений о свойствах исходных сил – они могут зависеть от координат, времени и скорости. Полученные формулы показывают, что зависимость сил от скорости в релятивистской теории неизбежна: даже если в какой- то системе координат ее нет (например, F'x, F'y, F'z не зависят от скорости), в других системах она неизбежно появляется (в данном случае Fx, Fy, Fz зависят от скорости ux, uy, uz частицы).
Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Для этого введем следующие обозначения:
,
.
С помощью этих формул формулы преобразования (3.8) записываются в виде векторного равенства
. (3.9)
Последнее равенство справедливо для любых значений .