7.2. Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета. Теорема кенига

Совершенно очевидно, что кинетическая энергия тела зависит от выбора системы отсчета, относительно которой рассматривается его движение. Можно поставить вопрос, как преобразуется кинетическая энергия при переходе от одной системы отсчета к другой. Рассмотрим сначала одну материальную точку. Обозначим через кинетическую энергию материальной точки в системе отсчета , а через - в другой системе , движущейся относительно первой со скоростью . Тогда, согласно нерелятивистскому закону сложения скоростей,

.

Поэтому

,

или

, (7.4)

где - импульс материальной точки в системе отсчета . Формула (7.4) справедлива и для системы материальных точек. Для того, чтобы убедиться в этом, нужно написать соотношение (7.4) для каждой точки, а затем просуммировать их. Тогда снова получится формула (7.4), в которой , где - скорость центра масс системы материальных точек относительно системы отсчета, а - ее суммарная масса, и, следовательно

.

Если центр масс покоится в системе , то есть , тогда

.

Это соотношение выражает теорему Кенига: Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии этой системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

7.6. Примеры на вычисление работы

Рассмотрим несколько примеров на вычисление работы.

7.6.1. Работа упругой силы

Пусть на частицу действует упругая сила , где - радиус-вектор частицы относительно точки (рис.7.3). Пусть частица под действием упругой силы переместилась по произвольному пути из точки 1 в точку 2. Найдем сначала элементарную работу силы на элементарном перемещении : , где - приращение модуля радиус-вектора.

Теперь вычислим работу данной силы на всем пути, то есть проинтегрируем последнее выражение от точки 1 до точки 2

. (2.5)

7.6.2. Работа гравитационной (или кулоновской) силы

Пусть в точке находится неподвижный силовой центр - материальная точка, действующая на частицу с силой , которая как для гравитационного, так и для кулоновского взаимодействия может быть представлена в виде

,

где для гравитационной силы, для кулоновской силы, - орт радиус-вектора, определяющего положение движущейся частицы (рис.7.4). Элементарная работа этой силы на перемещении

,

где - приращение модуля радиус-вектора. Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2

. (7.6)

7.6.6. Работа однородной силы тяжести

П усть частица движется под действием силы тяжести (рис.7.5). Запишем эту силу в виде , где - орт вертикальной оси , положительное направление которой выбрано вверх. Элементарная работа силы тяжести на перемещении

.

Так как , то

.

Работа же этой силы на всем пути от точки 1 до точки 2 равна

. (7.7)

Рассмотренные нами силы интересны в том отношении, что их работа, как видно из соотношений (7.5) - (7.7), не зависит от формы траектории между точками 1 и 2, а зависит только от положения этих точек. Это весьма важная особенность данных сил присуща, однако, не всем силам. Например, сила трения этим свойством не обладает: работа этой силы зависит не только от положения начальной и конечной точек, но и от формы траектории между ними.