- •Механика законы сохранения
- •6. Законы сохранения
- •6.1. Закон сохранения импульса
- •6.2. Движение тел с переменной массой
- •6.6. Формула циолковского
- •6.4. Система центра масс
- •7. Работа и энергия
- •7.1. Работа и кинетическая энергия
- •7.2. Связь между кинетическими энергиями в различных системах отсчета. Теорема кенига
- •7.6. Примеры на вычисление работы
- •7.6.1. Работа упругой силы
- •7.6.2. Работа гравитационной (или кулоновской) силы
- •7.6.6. Работа однородной силы тяжести
- •7.4. Потенциальные и непотенциальные силы
- •7.5. Потенциальная энергия частицы в поле
- •7.6. Полная механическая энергия частицы
- •7.7. Потенциальная энергия системы материальных точек
- •7.7.1. Собственная потенциальная энергия системы материальных точек
- •7.7.2. "Внешняя" потенциальная энергия
- •7.8. Полная механическая энергия системы. Закон сохранения механической энергии для системы материальных точек
- •7.9. Силы и потенциальная энергия
- •7.10. Упругие и неупругие столкновения
- •7.10.1. Абсолютно упругий удар
- •2.10.2. Нецентральный удар шаров
- •2.10.6. Графическое решение задачи о столкновении частиц
- •2.10.4. Замедление нейтронов
- •2.10.5. Абсолютно неупругий удар
- •2.11. Условия равновесия механической системы
- •2.12. Одномерное движение частицы
- •6. Закон сохранения момента импульса
- •6.1. Закон сохранения момента импульса
- •6.2. Уравнение моментов в ц-системе
- •4. Законы сохранения и симметрия пространства и времени
7.9. Силы и потенциальная энергия
Зная действующие силы как функции координат материальных точек системы, можно вычислить ее потенциальную энергию. Можно поставить и обратную задачу: вычислить действующие силы по заданной потенциальной энергии как функции координат взаимодействующих материальных точек. Рассмотрим сначала отдельную материальную точку, находящуюся в силовом поле каких-то неподвижных тел. Если силы потенциальные, то можно ввести потенциальную энергию , которой обладает материальная точка в рассматриваемом силовом поле. Величина будет функцией радиус-вектора этой материальной точки или ее координат . Пусть точка претерпела бесконечно малое перемещение . Если - сила, действующая на нее, то работа этой силы при таком перемещении равна убыли потенциальной энергии.
. (7.14)
Это равенство справедливо, каково бы ни было перемещение, и является одним из основных соотношений механики. Если функция известна, то оно полностью определяет силу по величине и направлению. В самом деле, чтобы найти вектор , достаточно определить его проекции на координатные оси прямоугольной системы координат. В этих проекциях уравнение (7.14) запишется так:
.
Допустим, что смещение происходит вдоль какой-либо одной координатной оси, например, оси . Тогда
,
и, следовательно,
.
Индексы означают, что при смещении, а, следовательно, и при дифференцировании координаты и должны оставаться постоянными. Иными словами, при дифференцировании должна рассматриваться как функция одного аргумента , остальные два аргумента и являются параметрами, которые при дифференцировании по должны оставаться постоянными. Величины, получающиеся в результате такого дифференцирования, называются частными производными функции . Аналогичные соображения справедливы и для проекций силы вдоль остальных двух осей и . Таким образом,
, , (7.15)
Если функция известна, то нахождение проекций силы сводится к вычислению ее частных производных по координатам. Разумеется, формулы (7.15 ) относятся только к случаю потенциальных сил. Три формулы (7.15) можно объединить в одну векторную формулу. С этой целью умножим эти формулы на единичные векторы координатных осей и сложим. В результате получим
, (7.16)
где символом обозначена сумма
. (7.17)
Она, согласно (7.17), является вектором. Для вектора градиента часто применяют другое обозначение
,
где - означает символический вектор или оператор, называемый набла-оператором
.
Формально можно рассматривать как произведение символического вектора но скаляр .
Д ля уяснения геометрического смысла градиента полезно ввести поверхности уровней, то есть такие поверхности, на которых скаляр остается постоянными. Пусть - одна из таких поверхностей и пусть градиент ищется в точке 1, лежащей на этой поверхности (рис.7.7). Поместим в этой точке начало координат. Ось направим по нормали к поверхности уровня , проведя единичный вектор в сторону возрастания . Координатные оси и располагаются в плоскости, касательной к поверхности уровня . Ясно, что при таком выборе координатных осей частные производные и в рассматриваемой точке пространства обратятся в нуль так, что в формуле (7.17) останется только первое слагаемое:
.
Изменим теперь обозначение. Единичный вектор нормали к поверхности уровня обозначим символом и расстояние между двумя бесконечно близкими поверхностями уровня и измеренное вдоль нормали, символом . Тогда очевидно . Эту величину называют производной скаляра в направлении нормали к поверхности уровня. В этом направлении величина , очевидно, изменяется наиболее быстро. Таким образом, в новых обозначениях формула (7.17) примет вид
.
Отсюда видно, что градиент функции есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания , его длина численно равна производной по нормали функции к той же поверхности. Преимущество такого определения по сравнению с определением (7.17) состоит в том. что содержит только величины и понятия, имеющие непосредственный геометрический смысл и не содержит ничего такого, что вносится случайным выбором координатной системы.
Отметим еще одну простую, но важную формулу. Перепишем (7.14) в виде
.
Отсюда следует
.
То есть проекция силы на некоторое направление равна производной от по этому направлению. Из последней формулы можно сделать заключение о направлении силы. Если в некотором направлении потенциальная энергия возрастает , то проекция силы на это направление будет отрицательной, то есть сила будет иметь направление, в котором потенциальная энергия убывает. Сила всегда направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии. Так как, производная обращается в нуль в точках максимума или минимума, то сила в местах максимума и минимума потенциальной энергии равна нулю.
Формулы (7.15) тривиальным образом обобщаются на случай произвольной системы материальных точек с одними только потенциальными силами. В этом случае потенциальная энергия является функцией координат всех взаимодействующих точек. Вместо (7.15) следует писать
, , .
Здесь - координаты -ой материальной точки системы, а - проекции действующей на нее силы. Номер может пробегать все возможные значения, так как формулы справедливы для каждой точки системы.