49. Составление условных уравнений в нивелирных сетях.

При составлении условных уравнений в нивелирных сетях уравнения называются полигонными. Их число = числу избыточных измерений: r = l - k, где l - число ходов k - число узловых точек.

В общем виде условное уравнение имеет вид:

ΣV_i + w _i= 0, w = Σh_i + H_нач – H_кон, если полигон замкнутый, то

H_нач = H_кон => w = Σh_i.

Т.е. составляются услов.уравнения, в кот.по ходу идет суммирование со своим знаком поправок и превышений.

Составление усл.урав-ий начинается с составления матем. условия.

h_i – измеренное превышение

V_i – поправка в измер. превышение

Пример (рис.1):

H_M1, H_M2 – отметки начальной и конечной точек

Введем обозначение (h₁+h₂+h₃) - (H_M2 - H_M1) = ω₁ – невязка по первому ходу

1) V₁+V₂+V₃+ω₁ = 0 – первое условное уравнение

ω₂ = (-h₃+h₄+h₅)-(H_M3 – H_M2)

2) –V₃ + V₄ + V₅ + ω₂ = 0 – 2-ое условное уравнение

ω₃ = (-h₅ + h₆ – h₁) - (H_M1 – H_M3)

3) –V₅ + V₆ – V₁ + ω₃ = 0 – 3-е условное уравнение.

При составлении условных уравнений не д.б.зависимых усл. уравнений. Это такие условные уравнения, которые являются комбинацией ранее записанных условных уравнений:

h₂ + h₄ + h₆ = ω₄

4) V₂ + V₄ + V₆ + ω₄ = 0.

50. Составление условных уравнений в полигонометрических сетях.

При уравнивании полигоном.сетей условные уравнения чаще всего составляются для отд.ходов, входящих в сеть. В каждом ходе возникает 3 вида условных уравнений, т.к. имеется 3 избыточных измерения: β_n, β_n+1, S_n.

1)Уравнение дирекц. углов вытекает из связи углов поворота с начальным и конечным дирекц. углами:

α_n+1 – α_к = w_β – угловая невязка

V_β1 + V_β2 + V_β3 + ... + V_βn-1 + V_βn + V_βn+1 + w_β = 0

ΣV_β + w_β = 0 (2),

Второе и третье условия вытекают из связи приращений координат с исходными начальными и конечными коорд-ми.

(3')

[PV²]= min

Перейти от поправок приращения координат к поправкам измерения.

Δx = S∙cosα

Δy = S∙sinα

Эти значения подставим в систему 4':

Из ф-лы (1) продиффер. ее:

Тогда будем иметь вместо (5):

51. Составление системы нормальных уравнений в коррелатном способе.

В корелатном способе уравнивания условные ур-ия сост-ся исходя из геом.связей, возникающих в сети. Число норм.ур-ий r = n-k. Система, состоящая из r уравнений с несколькими неизвестными, имеет множество решений. Поэтому она не м.б. решена однозначно. Из всего множества решений выберем такие неизвестные, кот.удовлетворяют условию метода наименьших квадратов Ф=[v²]= min или Ф=[pv²]=min,

соответственно для равноточных и неравноточных измерений:

v- поправка.

a₁₁v₁+... +a_n1v_n+w₁=0 1

а₁₂v₁+... +а_n2v_n+w₂=0 или в сокращенном виде

[a₁υ] + w₁ = 0

[a₂υ] + w₂ = 0

[a_rυ] + w_r = 0

Система носит название условных уравнений поправок. Невязки w_i являются свободными членами этих уравнений. Для отыскания относительного минимума функции необходимо применить метод Лагранжа, согласно кот.составляем функцию:

Ф = [pυ²] + λ₁ ([a₁υ]+w₁) + λ₂([а₂υ]+w₂)+.....+ λ_r([а_rυ] + w_r).

где λ₁=-2κ₁, λ₂=-2κ₂ - неопределенные множители Лагранжа,

к₁, к₂, к_r – коррелаты.

Беря производные от Ф по υ и приравнивания их к нулю получаем выражение определяющее поправки через коррелаты k:

υ₁= q₁a₁₁k₁+q₁a₁₂ k₂+.......+q₁a_1r k_r 2

υ₂= q₂a₂₁k₁+q₂a₂₂ k₂+.......+q₂a_2r k_r

υ_i= q_ia_i1k₁+q_ia_i2 k₂+.......+q_ia_ir k_r

Умножая все равенства поочередно на а_i1, а_i2, ..., а_ir и каждый раз складывая их, получим:

[a₁υ] = [qa₁a₁]k₁ + [qa₁a₂]k₂ + … + [qa₁a_r]k_r;

[a₂υ] = [qa₁a₂]k₁ + [qa₂a₂]k₂ + … + [qa₂a_r]k_r;

[a_rυ] = [qa₁a_r]k₁ + [qa₂a_r]k₂ + … + [qa_ra_r]k_r.

Учитывая 1, получим:

[qa₁a₁]k₁ + [qa₁a₂]k₂ + … + [qa₁a_r]k_r + w₁ = 0

[qa₁a₂]k₁ + [qa₂a₂]k₂ + … + [qa₂a_r]k_r + w₂ = 0 3

[qa₁a_r]k₁ + [qa₂a_r]k₂ + … + [qa_ra_r]k_r + w_r = 0

Равенства 3 представляют собой систему нормальных уравнений коррелат, в которой число уравнений равно числу неизвестных.