- •1.Определения и вычисление 2 и 3го порядка. Свойства определителей.
- •2.Матрицы,основные определения. Действия над матрицами.
- •3.Определение минора элемента, алгебраического дополнения.
- •4.Понятие обратной матрицы. Теорема об ее вычислении.
- •5.Понятие о ранге матрицы.
- •6.Системы линейных уравнений. Основные понятия.
- •7.Системы линейных однородных уравнений. Методы решения.
- •8.Правило Крамера.
- •Если система (2.3) имеет единственное решение, определяемое по формулам: .
- •9.Метод Гаусса.
- •10) Решение линейных систем с помощью обратной матрицы.
- •11)Векторы. Основные определения. Сложение и вычитание векторов.
- •12)Умножение вектора на скаляр. Коллинеарные вектора. Необходимое и достаточное условия коллинеарности векторов.
- •13)Определение проекции вектора на ось. Теоремы о проекциях. Вектор в трехмерном пространстве. Направляющие косинусы. Разложение вектора по ортам.
- •14) Линейная зависимость и независимость векторов.
- •15)Скалярное произведение векторов. Геометрический и механический смысл. Свойства. Таблица умножения ортов. Угол между векторами.
- •16)Понятие тройки векторов. Левая, правая тройка, Определение векторного произведения. Геометрический смысл. Свойства. Векторное произведение в декартовых координатах.
- •17) Смешанное произведение векторов. Свойства и геометрический смысл. Компланарные векторы.
- •18) Полярная система координат
- •19) Прямая на плоскости. Общее уравнение прямой. Частные случаи. Расположение двух прямых на плоскости.
- •20)Эллипс.
- •21)Гипербола.
- •22)Парабола.
- •23)Уравнение линии и поверхности в пространстве.
- •24)Плоскость. Общее уравнение. Случаи расположения 2-х плоскостей в пространстве. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.
- •25.Уравнение прямой в пространстве. Случаи расположения двух прямых. Угол между прямой и плоскостью. Формула расстояния от точки до плоскости.
- •26. Поверхности второго порядка. Построение методом сечений.
- •27.Определение функции. Способы задания. Классификация.
- •28.Предел числовой последовательности. Основные определения. Теорема об ограниченной последовательности.
- •29. Основные теоремы о пределах.
- •30.Определение множества и ограниченного множества. Супремум. Инфимум.
- •Ограниченное числовое множество.
- •Ограниченное множество в метрическом пространстве
- •Ограниченность в частично упорядоченном множестве
- •31.Определение предела числовой последовательности. Признаки существования предела, теорема о зажатой последовательности.
- •32.Предел функции. Теоремы о пределах. Способы вычисления пределов.
- •Алгоритм решения.
- •33.Определение предела функции. 1 и 2 замечательный предел.
- •Бесконечно большие f(X) и g(X) считаются величинами одного порядка, если
- •Если , то f(X) считается бесконечно большой более высокого порядка, чем g(X).
- •Бесконечно большая f(X) называется величиной k-го порядка относительно бесконечно большой g(X), если .
- •35.Односторонние пределы функции. Определение. Непрерывность функции в точке.
- •36.Непрерывность функции в точке.
- •37.Понятие проивзодной,ее физический и геометрический смысл.
- •38. Определение производной. Правило дифференцирования суммы и частного функции, разности и произведения функций.
- •39.Правило дифференцирования сложной функции. Теорема о производной обратной функции. Дифференцирование функции, заданной неявно. Понятие логарифмической производной.
- •40.Нахождение производной функции, заданной параметрически.
- •41.Дифференциал. Определение ,свойства, геометрический смысл.
- •42.Дифференциалы и производные высших порядков.
- •43.Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши и их геометрический смысл.
- •44.Правило Лопиталя. Следствие о раскрытии неопределенностей разных видов.
- •45.Формула Тейлора.
- •46.Выпуклость и вогнутость кривых. Определение. Определение точки перегиба.
- •47.Асимпоты. Определение. Классификация.
- •48.Комплескные числа.
- •49.Функции нескольких переменных.
- •50.Предел функции двух переменных. Непрерывные функции, частные производные.
- •51.Полный дифференциал. Производные сложной функции.
- •52.Неявные функции и их дифференцирование.
- •53.Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Частные производные.
- •54.Дифференциалы высших порядков.
- •55.Первообразная функция и неопределенный интеграл .Свойства неопределенного интеграла.
- •56.Интегрирование методом замены и внесения под знак дифференциала.
- •57.Интегрирование по частям.
- •58. Интегрирование рациональных функций.
- •59.Интегрирование иррациональных функций.
- •1. Сделаем замену , тогда , а . Следовательно,
- •2. . Так как , а , выберем в качестве новой переменной . Тогда . Поэтому
- •60.Интегрирование тригонометрических функций.
20)Эллипс.
Эллипсом называется множество точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Замечание. При совпадении точек F1 и F2 эллипс превращается в окружность.
Выведем уравнение эллипса, выбрав декартову систему
у М(х,у) координат так, чтобы ось Ох совпала с прямой F1F2, начало
r1 r2 координат – с серединой отрезка F1F2. Пусть длина этого
отрезка равна 2с, тогда в выбранной системе координат
F1 O F2 x F1(-c, 0), F2(c, 0). Пусть точка М(х, у) лежит на эллипсе, и
сумма расстояний от нее до F1 и F2 равна 2а.
Тогда r1 + r2 = 2a, но ,
поэтому Введя обозначение b² = a²-c² и проведя несложные алгебраические преобразования, получим каноническое уравнение эллипса: (11.1)
Эксцентриситетом эллипса называется величина е=с/а (11.2)
Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а/е от начала координат.
Замечание. При ином выборе системы координат эллипс может задаваться не каноническим уравнением (11.1), а уравнением второй степени другого вида.
Свойства эллипса:
Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Если эллипс задан каноническим уравнением, то его главными осями являются оси координат, а центром – начало координат. Поскольку длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b (2a>2b), то главная ось, проходящая через фокусы, называется большой осью эллипса, а вторая главная ось – малой осью.
1)Весь эллипс содержится внутри прямоугольника
2)Эксцентриситет эллипса e < 1.
Действительно,
4) Директрисы эллипса расположены вне эллипса (так как расстояние от центра эллипса до директрисы равно а/е, а е<1, следовательно, а/е>a, а весь эллипс лежит в прямоугольнике )
5) Отношение расстояния ri от точки эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету эллипса.
Доказательство.
Расстояния от точки М(х, у) до фокусов эллипса можно представить так:
Составим уравнения директрис:
(D1), (D2). Тогда Отсюда ri / di = e, что и требовалось доказать.
21)Гипербола.
Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выведем каноническое уравнение гиперболы по аналогии с выводом уравнения эллипса, пользуясь теми же обозначениями.
|r1 - r2| = 2a, откуда Если обозначить b² = c² - a², отсюда можно получить
- каноническое уравнение гиперболы. (11.3)
Эксцентриситетом гиперболы называется величина е = с / а.
Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, называется прямая, расположенная в одной полуплоскости с Fi относительно оси Оу перпендикулярно оси Ох на расстоянии а / е от начала координат.
Свойства гиперболы:
Гипербола имеет две оси симметрии (главные оси гиперболы) и центр симметрии (центр гиперболы). При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершинами гиперболы. Она называется действительной осью гиперболы (ось Ох для канонического выбора координатной системы). Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и называется ее мнимой осью (в канонических координатах – ось Оу). По обе стороны от нее расположены правая и левая ветви гиперболы. Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.
Ветви гиперболы имеют две асимптоты, определяемые уравнениями
и .
Наряду с гиперболой (11.3) можно рассмотреть так называемую сопряженную гиперболу, определяемую каноническим уравнением
, (11.3`)
для которой меняются местами действительная и мнимая ось с сохранением тех же асимптот.
4) Эксцентриситет гиперболы e > 1.
5) Отношение расстояния ri от точки гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей фокусу директрисы равно эксцентриситету гиперболы.
Доказательство можно провести так же, как и для эллипса.