4. Среднее значение функции

Пусть интегрируема и ограничена на и , — соответственно, верхняя и нижняя грани на отрезке . Тогда, существует такое число , что: и .

Число называется средним значением функции на отрезке .

Примеры:

4.1. Вычислить среднее значение функции на отрезке .

 По формуле среднего значения функции на интервале, получаем

.◄

4.2. Вычислить среднее значение функции на отрезке .

 По формуле среднего значения функции на интервале, получаем

.◄

4.3. Вычислить среднее значение функции на отрезке .

 По формуле среднего значения функции на интервале, получаем

.◄

5. Несобственные интегралы

5. 1. Интегралы с бесконечными пределами

Если непрерывна на интервале , то интеграл

называется несобственным интегралом от . Если предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся, если нет, то расходящимся. Если при , то при интеграл сходится, при интеграл расходится.

Отметим важные примеры несобственных интегралов:

- интеграл Пуассона,

- интеграл Дирихле,

- Бета-функция (эйлеров интеграл 1 рода),

- Гамма-функция (эйлеров интеграл 2 рода).

Примеры:

5.1.1. Вычислить интеграл

 Найдём .

Предел существует и конечен. Значит, интеграл сходится. ◄

5.1.2. Вычислить интеграл

 Найдём .

Предел не существует. Несобственный интеграл расходится. ◄

5.1.3. Вычислить интеграл .

 Подынтегральная функция чётная, поэтому

.

Вычислим интеграл:

.

Получили . Интеграл сходится. ◄

5.1.4. Доказать расходимость интеграла .

 Так как при , , то вычисляя интеграл

.

Этот интеграл расходится. Следовательно, по признаку сравнения исходный интеграл тоже расходится. 

5.2. Интегралы от функций с бесконечными разрывами

Если непрерывна на и неограниченна в любой окрестности точки , то интеграл

называется несобственным интегралом от . Если предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся, если нет, то расходящимся. Если при , то при интеграл сходится, при интеграл расходится.

Примеры:

5.2.1. Исследовать на сходимость интеграл .

 Так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке , то получим:

Конечного предела не существует, значит, интеграл расходится. ◄

5.2.2. Исследовать на сходимость интеграл

 Так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке , то получим: .

Конечный предел равен бесконечности. Значит, интеграл расходится. ◄

5.2.3. Исследовать на сходимость интеграл

 Так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке , получим: .

Применим интегрирование по частям. Пусть Тогда .

И первоначальный интеграл примет вид:

.

Предел конечен. Поэтому интеграл сходится. ◄

5.2.4. Исследовать на сходимость интеграл

 Имеем .

Предел бесконечен. Следовательно, интеграл расходится. ◄

6. Геометрические и физические приложения определенного интеграла

6.1. Вычисление площади криволинейной трапеции

Площадь плоской области стандартной относительно оси , ограниченной прямыми и и кривыми , такими, что для любых выполнено

(т.е. ) вычисляется .

Аналогично площадь плоской области стандартной относительно оси , ограниченной прямыми и и кривыми , такими, что для любых выполнено (т.е. ) вычисляется

.

Если область ограничена непрерывной замкнутой кривой, заданной параметрически

,

то её площадь можно вычислить по одной из трёх формул

,

,

.

Какую из них удобнее применять, зависит от конкретного вида функций и .

Площадь области : ,

называемой криволинейным сектором, ограниченной графиком и двумя лучами, составляющими с полярной осью углы и имеет площадь

.

Примеры:

6.1.1. Вычислить площадь области, ограниченной линиями: и .

 Изобразим фигуру в декартовой системе координат:

Из условия симметрии фигуры относительно точки с координатами , площади и равны. Так как данная область является стандартной как относительно оси так и относительно оси , то ее площадь можно вычислить одним из двух способов.

1) Выразим зависимости в явном виде:

и ,

а стандартная относительно оси область

.

Тогда получаем .

2) Заметим, что для вычисления площади можно было воспользоваться исходным видом зависимостей:

.

6.1.2. Вычислить площадь области, ограниченной параболами и .

 Изобразим фигуру в декартовой системе координат

Очевидно, область симметрична относительно оси , кроме того, она не является стандартной относительно оси и стандартной относительно оси , а ее площадь можно вычислить одним из двух способов.

1. Данная область не является стандартной относительно оси . Её можно разбить на две стандартные относительно оси области:

,

.

Из симметрии областей и относительно оси следует, что

.

2. Относительно оси данная область является стандартной:

.

Снова, используя симметрию области, получаем

.

6.1.3. Вычислить площадь эллипса, заданного уравнением ( , ).

 Искомую площадь можно вычислить, используя как явное представление линии, так и параметрическое.

1. Выразив уравнение в явном виде

,

получим, применив подстановку , , приходим к

.

2) С другой стороны, используя параметрическое представление , при изменении параметра в пределах от до , получаем:

.

6.1.4. Вычислить площадь астроиды, заданной уравнением ( , )

 Изобразим кривую в декартовых координатах:

Используя параметрическое представление , при изменении параметра в пределах от до , получаем:

.

6.1.5. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой , .

 Изобразим кривую в декартовых координатах:

Так как кардиоида симметрична относительно оси , то, используя параметрическое представление, будем менять параметр в пределах от до . Так как

и ,

получаем по любой из трех формул

,

,

.

Отметим, что площадь кардиоиды задаваемой уравнением в полярных координатах равна

.

6.1.6. Найти площадь области, ограниченной кривой .

 Кривая образует три симметричные петли, каждая из которых ограничивает криволинейный сектор. Изобразим ее в полярных координатах.

Рассмотрим сектор, лежащий в первой четверти:

.

Площадь его, очевидно, равна 1/3 площади всей области, ограниченной данной кривой. Следовательно,

. 