15. Прямая форма реализации нерекурсивных фильтров

Нерекурсивному фильтру, основанному на прямом вычислении ДВС,

соответствует структурная схема рис. 2.15.

Для аппаратной реализации НФ необходимы (N- 1) элемент памяти, N

умножителей и сумматор на N входов.

Граф-схема алгоритма программной реализации НФ приведена на рис. 2.16. Алгоритм обработки представлен в “машинных” переменных Y ← y(n), H(k) ← h (m), X(I) ← x(n- m). Фильтр реализует базовую операцию Y=Y+H(k)X(I). Переменные X(I) должны быть обнулены при их описании.

Требуемый объем вычислений при программной реализации составляет (N- 1) операций сложения и N операций умножения на каждый отсчет выходного сигнала.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ И ЧАСТОТНАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА

НЕРЕКУРСИВНОГО ФИЛЬТРА

Передаточная функция Н(z) и частотная характеристика Н(jw) НФ

определяются Z-преобразованием и преобразованием Фурье его импульсной хар-ки:

(2.65)

При большой крутизне срезов АЧХ нерекурсивные фильтры имеют достаточно длинные импульсные характеристики, требующие большого объема памяти и вычислений. В то же время им свойственны абсолютная устойчивость и возможность получения строго линейной ФЧХ или постоянного группового времени запаздывания (ГВЗ). Условием линейности ФЧХ является симметрия импульсной характеристики фильтра: h(n) = h(N- 1- n). Отвечающие данному условию НФ имеют ФЧХ: φ(w) = -wTд(N- 1)/2 и время запаздывания tз = -[(N- 1)/2]Tд.

4 типа:

1. нечётного порядка с симметричными параметрами

2. четного порядка с симметричными параметрами

3. нечётного порядка с антисимметричными параметрами

4. четного порядка с антисимметричными параметрами

фильтры 1-го и 2-го порядка используются для реализации основных фильтров: ФНЧ, ФПЧ, ППФ, ПЗФ.

с антисимметричной характеристикой используются для реализации преобразователей Гильберта и интеграторов.

Синтез нерекурсивных фильтров методом весовых функций

Синтез НФ (КИХ-фильтров) выполняется по заданной идеализированной частотной характеристике фильтра Hd(jω) с нулевым запаздыванием и допустимым погрешностям ее аппроксимации (рис. 1). Он заключается в поиске импульсной характеристики фильтра h(n)N конечной длины N, являющейся коэффициентами его передаточной функции

Учитывая, что частотная характеристика и импульсная характеристика связаны парой преобразований Фурье, с помощью обратного преобразования Фурье может быть найдена импульсная характеристика hd(n), которая соответствует заданной идеализированной частотной характеристике:

(3.4)

Однако импульсная характеристика идеального фильтра имеет бесконечную длину и не отвечает условию физической реализуемости: при n < 0 hd(n) ≠ 0 – отклик фильтра опережает входное воздействие. Поэтому она не может быть непосредственно использована в качестве импульсной характеристики НФ. Получить на основе импульсной характеристики (3.4) физически реализуемый КИХ-фильтр с частотной характеристикой, близкой к заданной, можно путем сдвига h_d(n) вправо на (N – 1)/2 отсчетов и усечения ее за пределами n < 0 и n N. При этом частотная характеристика фильтра аппроксимируется усеченным рядом Фурье с коэффициентами

h_d[n – (N –1)/2]:

Импульсная хар.не будет такой ровной. Для улучшения качества аппроксимации в методе весовых функций импульсную характеристику НФ конструируют ограничением длины импульсной характеристики hd[n – (N – 1)/2] с помощью специальных весовых функций или окон w(n) конечной длины N:

Полученной таким образом импульсной характеристике соответствует частотная характеристика фильтра

определяемая сверткой в частотной области заданной частотной характеристики Hd(jw) с частотной характеристикой (Фурье-образом) весовой функции W(jw):

где *– символ свертки,θ– переменная интегрирования. Данные преобразования во временной и частотной области иллюстрируются графиками рис. 3.6, достаточно наглядно отражающими влияние весового усечения на качество аппроксимации заданной частотной характеристики усеченным рядом Фурье. Частотная характеристика весовой функции на рис. 3.6 имеет главный лепесток шириной Wгл и боковые лепестки, уровень которых характеризуется максимальным по модулю значением δ блmax и площадью под боковыми лепестками. Свертка в частотной области осуществляется графически путем смещения по частоте в пределах /2 зеркально отображенной частотной характеристики весовой функции и вычисления площади перекрытия ее с заданной частотной характеристикой Hd(jw).

Рис. 3.6. Графическая иллюстрация синтеза НФ методом весовых функций

Из рисунка следует, что переходная полоса частотной характеристики

фильтра H(jw) определяется шириной главного лепестка частотной характеристики весовой функции, а погрешности аппроксимации (пульсации) в полосе пропускания и задерживания 1, 2 связаны с уровнем ее боковых лепестков. Это определяет требования к весовой функции, которая должна иметь: минимальную ширину главного лепестка Wгл; минимальный уровень боковых лепестков блmax и минимальную площадь под боковыми лепестками; минимальную длину N. Требования эти достаточно противоречивы. Так, более гладкие весовые функции имеют меньший уровень боковых лепестков, но большую ширину главного лепестка, уменьшающуюся с увеличением длины весовой функции N.