4. Моменты инерции сложных фигур. Главные оси инерции и главные моменты инерции

Момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составляющих ее частей:

Моменты инерции прокатных сечений (двутавров, швеллеров, уголков и т.д.) есть в таблицах сортамента.

Ось, относительно которой центробежный момент инерции равен нулю называют главной осью (главной осью инерции) или главной центральной осью, если она проходит через центр тяжести сечения. Из формул для определения статических моментов следует: если оси x и y проходят через центр тяжести фигуры, то S_x = 0 и S_y = 0. Такие оси называются центральными осями. Статический момент сложной фигуры может быть представлен в виде суммы статических моментов фигур, для которых известно положение центров тяжести. Если фигура имеет ось симметрии, то последняя всегда проходит через центр тяжести фигуры, а поэтому S_x = 0 или S_y = 0.

Лекция 7 Кручение

План

1. Понятие деформации кручение. Построение эпюр крутящих моментов.

2. Определение напряжений.

3. Деформации и перемещения при кручении валов.

4. Построение эпюр угловых перемещений при кручении. Концентрация напряжений. Рациональные формы сечений при кручении.

1. Понятие деформации кручения. Построение эпюр крутящих моментов

Кручение - вид деформации бруса (стержня), при котором в его поперечных сечениях возникает единственный внутренний силовой фактор – крутящий момент T. Вращающиеся и работающие на кручение стержни называются валами. Деформация кручения возникает при нагружении бруса парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны его продольной оси. Моменты этих пар будем называть скручивающими моментами и обозначать М. Скручивающие (внешние) моменты передаются на вал, как правило, в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п.

Алгебраическая сумма всех скручивающих моментов, действующих на вал равна нулю: Σ М_i = 0, брус находится в равновесии. Скручивающий момент можно определить как: [Н·м], где P – мощность, а ω – угловая скорость.

Для определения крутящих моментов, возникающих в сечении вала будем пользоваться методом сечений. В общем случае крутящий момент в сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, действующих по одну сторону от сечения. Для наглядного представления о фактическом распределении значений крутящих моментов по всей длине стержня строят эпюры крутящих моментов (Рис. 28). Их построение аналогично построению эпюры Ν при растяжении (сжатии). В местах приложения внешних моментов ординаты эпюры T скачкообразно изменяются на величину приложенного внешнего момента (Рис. 28а).

Для построения эпюры T необходимо условиться о правиле знаков. Общепринятого правила знаков не существует. Важно лишь принятое правило знаков выдержать на всем протяжении эпюры.

Правило знаков (Рис.27): крутящий момент T в сечении считается положительным, когда внешний момент M вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения; крутящий момент T в сечении считается отрицательным, когда внешний момент M вращает отсеченную часть по часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения (Рис. 27а). Можно принять и другое правило знаков (Рис. 27б).

M T M T M T M T

а. б.

Рис. 27. Правило знаков

Покажем на примере построение эпюры T для вала диаметром d = 0,03 м, нагруженного внешними моментами (Рис. 28а): M₀ – скручивающий момент на ведущем шкиве, M₁, M₂ – на ведомых шкивах. Проведём сечение 1-1 за плоскостью приложения момента M₁ (смотрим со стороны сечения).

M ₁ T₁ T₁ = M₁ = 10 кН·м;

Проведём второе сечение 2-2, за плоскостью приложения M₀ :

M₁ T₂ T₂ = M₁ - M₀ = 10 – 30 = - 20 кН·м.

M₀

Для построения эпюры T проводим линию параллельную оси вала. От неё в определённом масштабе откладываем полученные значения: положительные вверх, отрицательные вниз. Штрихуем строго вертикальными линиями. Проверяем правильность построения: в местах приложения внешних моментов M₁, M₂ и M₀ ординаты эпюры T скачкообразно изменяются на величину приложенных внешних моментов: 10, 30 и 20 кН·м соответственно.