- •Глава III. Линейные преобразования
- •3.1. Матрица линейного преобразования
- •3.2. Ядро и образ линейного преобразования
- •3.3. Собственные значения квадратной матрицы
- •1. Найти собственные значения матриц:
- •3.4. Собственные векторы квадратной матрицы
- •3.5. Свойства собственных векторов матрицы
- •3.6. Базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы
- •3.7. Норма линейного преобразования
- •Ортогональные матрицы
- •3.9. Симметрические преобразования и симметрические матрицы
- •Собственные значения симметрической матрицы
- •Собственные векторы симметрической матрицы
3.6. Базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы
Пусть все различные собственные значения матрицы . Выберем базис в каждом подпространстве . Объединяя эти базисы, получим линейно независимую систему векторов, состоящую из собственных векторов матрицы (п. 3.5, свойство 2). Существует ли базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы? В общем случае ответ отрицательный, потому что матрица может не иметь собственных значений и, значит, собственных векторов.
□ Теорема 3.11. Дана матрица A. Равносильны следующие условия:
1. В пространстве имеется базис, состоящий из собственных векторов матрицы .
2. Объединение базисов подпространств является базисом пространства где все различные собственные значения матрицы
3. Можно построить такую обратимую матрицу T, что
Доказательство
1) 2). Пусть ,…, – базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы . Обозначим через ,…, объединение базисов подпространств Из свойства 2 в п. 3.5 следует линейная независимость системы векторов
Если вектор принадлежит подпространству , то вектор разлагается по базису подпространства , который является частью системы и, значит, каждый вектор системы разлагается по системе векторов . Отсюда и из условия: – базис следует, что каждый вектор из подпространства , разлагается по системе векторов . Следовательно, система векторов – базис пространства .
2) 3). Так как объединение базисов подпространств является базисом пространства то оно содержит n векторов, которые обозначим через . Вектор принадлежит одному из подпространств , т. е. , где одно из чисел .
Рассмотрим матрицу , столбцами которой являются векторы . Так как векторы образуют базис пространства Rn, то матрица обратимая. Теперь справедливость утверждения 2) 3) вытекает из следующей цепочки импликаций:
3) 1). Пусть . Матрица по условию обратима и, значит, система ее столбцов линейно независимая и состоит из векторов. Следовательно, они образуют базис пространства Rn. Остается доказать, что базис состоит из собственных векторов матрицы . Это утверждение вытекает из следующей цепочки импликаций:
т. е. собственный вектор матрицы , принадлежащий ее собственному значению .■
Матрица приводит матрицу к диагональному виду, если существует такая обратимая матрица , что
.
Пример
Выяснить, приводится ли матрица к диагональному виду. Найти матрицу , приводящую матрицу к диагональному виду, и найти диагональный вид.
.
Решение. Найдем собственные значения матрицы
Собственные значения матрицы равны , , .
Базис каждого из подпространств , , состоит из одного вектора, соответственно , , .
Матрица
,
столбцами которой являются координаты векторов , приводит матрицу к диагональной матрице
,
на главной диагонали которой находятся собственные значения матрицы , причем .
Задачи
1. Матрица приводит матрицу к диагональному виду. Найти собственные значения матрицы , не решая уравнение =0.
2. Построить алгоритм, который позволяет выяснить, приводит ли матрица матрицу к диагональному виду, и не требует решения уравнения =0.
3. Выяснить, приводит ли матрица матрицу к диагональной матрице и если приводит, то найти ее, не вычисляя матрицу
а) = = б)
4. Найти базис пространства Rn, состоящий из собственных векторов матрицы
a) б)