- •Глава III. Линейные преобразования
- •3.1. Матрица линейного преобразования
- •3.2. Ядро и образ линейного преобразования
- •3.3. Собственные значения квадратной матрицы
- •1. Найти собственные значения матриц:
- •3.4. Собственные векторы квадратной матрицы
- •3.5. Свойства собственных векторов матрицы
- •3.6. Базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы
- •3.7. Норма линейного преобразования
- •Ортогональные матрицы
- •3.9. Симметрические преобразования и симметрические матрицы
- •Собственные значения симметрической матрицы
- •Собственные векторы симметрической матрицы
Собственные векторы симметрической матрицы
Ниже будет доказано, что в пространстве имеется ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов симметрического преобразования. Сначала докажем следующие леммы.
Лемма 1. Даны две матрицы и порядка n
где и – матрицы порядка . Тогда справедливы следующие утверждения:
1.
2 . Если матрица обратима и , то матрица обратима и
3.
Доказательство
Найдем первую строку и первый столбец матрицы
Теперь найдем элемент матрицы , расположенный в -й строке и -м столбце, ,
.
2. Используя доказанное выше первое утверждение леммы, имеем
=
3. , . ■
□ Лемма 2. Если – ортогональная матрица порядка , то
− ортогональная матрица порядка n.
Доказательство. Из ортогональности матрицы следует, что (теорема 1.16). Ортогональность матрицы будет вытекать из равенства , которое установим, используя лемму 1
■
Построение ортонормированного базиса , состоящего из собственных векторов симметрической матрицы, будет основываться на следующей теореме.
□ Теорема 3.21. Каждую симметрическую матрицу можно при помощи ортогональной матрицы привести к диагональному виду
.
Доказательство проведем методом математической индукции по порядку матрицы . Если матрица имеет порядок, равный единице, т. е. , то она уже является диагональной. Далее, единичная матрица первого порядка, т. е. , обратима и обратная матрица имеет вид . Обе эти матрицы являются ортогональными. Наконец, из матричного равенства следует, что .
Пусть теперь утверждение теоремы справедливо для всех симметрических матриц, порядок которых равен . Докажем теорему для симметрической матрицы порядка . Из теоремы 3.20 следует, что матрица имеет собственное значение . Возьмем в подпространстве ненулевой вектор и нормируем его. Полученный вектор обозначим символом . Так как , то . Дополним нормированный вектор до ортонормированного базиса пространства и рассмотрим ортогональную матрицу , столбцами которой являются координаты векторов этого ортонормированного базиса. Теперь для первого столбца матрицы получим следующее выражение:
.
Отсюда следует, что матрица может быть записана в виде
Так как матрица симметрическая (теорема 3.19), то все элементы этой матрицы, расположенные в первой строке, за исключением быть может , равны нулю. Итак
Из леммы 1 вытекает, что
Из симметричности матрицы вытекает равенство . Отсюда следует, что и, значит, симметрическая матрица.
Симметрическая матрица имеет порядок и, по предположению индукции, найдется такая ортогональная матрица , что
.
Из леммы 2 следует ортогональность матрицы
,
а из леммы 1 вытекает, что матрица обратима и
Теперь обозначим произведение ортогональных матриц и символом , т. е. . Из теоремы 3.17 следует, что – ортогональная матрица. Используя лемму 1, получим следующую цепочку равенств:
= =
т. е. ортогональная матрица приводит матрицу к диагональному виду. ■
Теперь доказанная теорема 3.21 позволяет построить в пространстве Rn ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов симметрического преобразования .
□ Теорема 3.22. Пусть все различные собственные значения симметрической матрицы . Тогда объединение ортонормированных базисов подпространств является ортонормированным базисом пространства .
Доказательство. В каждом подпространстве выберем ортонормированный базис. Из теорем 3.21 и 3.11 следует, что объединенная система этих базисов является базисом Rn. В силу построения векторы нормированы. Докажем ортогональность этой системы векторов.
Пусть и – произвольные различные векторы системы . Если они лежат в одном подпространстве то они принадлежат ортонормированному базису этого подпространства и, значит, ортогональны. Пусть теперь и . Тогда
, .
Отсюда следует ,
Из симметричности матрицы вытекает равенство левых частей этих равенств и, значит, равны их правые части
.
Так как собственные значения и различны, то и, значит, ■
Алгоритм построения ортонормированного базиса пространства , состоящего из собственных векторов симметрической матрицы .
1. Найти собственные значения матрицы .
2. Для каждого собственного значения найти фундаментальный набор решений системы уравнений , т. е. найти базис подпространства .
3. Ортогонализировать и нормировать найденные базисы под-пространств.
4. Объединить ортонормированные базисы подпространств .
Пример
Найти ортонормированный базис пространства состоящий из собственных векторов матрицы
Решение. Сначала найдем характеристический многочлен матрицы
Собственные значения матрицы равны 2, 2 и 4.
Теперь надо найти базисы подпространств , и , т. е. найти фундаментальные наборы решений систем уравнений: , и Базис подпространства состоит из одного вектора , базис A(2) образуют векторы , и базис подпространства состоит из одного вектора .
Базис подпространства не является ортогональным. После его ортогонализации и объединения базисов всех подпространств получим ортонормированный базис пространства , состоящий из собственных векторов матрицы : .
Задачи
1. Доказать, что для любой матрицы матрица – симметрическая матрица.
2. Доказать, что для любой обратимой матрицы матрица будет симметрической тогда и только тогда, когда симметрической будет матрица .
3. Доказать, что если и − симметрические матрицы, то матрицы и также симметрические.
4. Доказать, что симметрические матрицы и перестановочны тогда и только тогда, когда симметрическая матрица.
5. Доказать, что матрица cимметрическая, если матрица ортогональная и = Е.
6. Доказать, что матрица симметрическая, если в пространстве имеется ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов матрицы .
Найти ортонормированный базис пространства R , состоящий из собственных векторов симметрической матрицы.
7. 8. 9.
Найти ортогональную матрицу, которая приводит симметрическую матрицу к диагональному виду, написать этот диагональный вид.
10. 11. 12.
13. Найти все диагональные матрицы, к которым приводится при помощи ортогональной матрицы симметрическая матрица
.