Свойства определителя матрицы

В целях экономии времени , следующие свойства приведены без доказательств.

Свойства :

1. Определитель , имеющий строку, представленной суммой двух строк, равносилен сумме определителей

2. Определитель , имеющий нулевую строку, равен нулю

3. Определитель , имеющий две пропорцинальных строки , равен нулю

4. Определитель единичной матрицы равен единице

5. Опредилетель транспонированной матрицы равен определителю не транспонированной матрицы

6. Определитель не изменится, если из строки вынести множитель

7. Определитель не изменится, если одну из его строк домножить на число и добавить к другой cтроке (в силу свойства 3)

8. При перестановке двух строк определителя, определитель меняет знак

9. Все свойства сформулированые для строк, верны и для столбцов(в силу свойства 5 )

Крамера теорема

КРАМЕРА ТЕОРЕМА

- интегральная предельная теорема для вероятностей больших отклонений (уклонений) сумм независимых случайных величин. Пусть Х ₁, Х ₂, ... - последовательность независимых случайных величин с общей невырожденной функцией распределения Р(х). такой, что и производящая функция моментов конечна в нек-ром интервале |t|<H (последнее условие наз. условием Крамера). Пусть

Здесь Ф (х) - нормальная (0, 1) функция распределения, - так наз. ряд Крамера, коэффициенты к-рого зависят только от моментов случайной величины Х ₁;этот ряд сходится для всех достаточно малых t. Несколько более слабый по сравнению с приведенным выше результат был получен Г. Крамером (Н. Сrаmer) в 1938.

Теорема Кронекера — Капелли

[править]

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли — критерий совместности системы линейных алгебраических уравнений:

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

Содержание

 [убрать] 

• 1 Доказательство (условия совместности системы)

  • 1.1 Необходимость

  • 1.2 Достаточность

• 2 Следствия

• 3 См. также

• 4 Литература

[править] Доказательство (условия совместности системы)

[править] Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (столбец), которая является линейной комбинацией других строк (столбцов) следует, что .

[править] Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

[править] Следствия

• Количество главных переменных системы равно рангу системы.

• Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Метод Гаусса

27 июня 2011

Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если множество всех их решений совпадает.

Определение. Элементарные преобразования системы уравнений — это:

1. Вычеркивание из системы тривиальных уравнений, т.е. таких, у которых все коэффициенты равны нулю;

2. Умножение любого уравнения на число, отличное от нуля;

3. Прибавление к любому i-му уравнению любого j-то уравнения, умноженного на любое число.

Определение. Переменная x_i называется свободной, если эта переменная не является разрешенной, а вся система уравнений — является разрешенной.

Теорема. Элементарные преобразования переводят систему уравнений в равносильную.

Смысл метода Гаусса заключается в том, чтобы преобразовать исходную систему уравнений и получить равносильную разрешенную или равносильную несовместную систему.

Итак, метод Гаусса состоит из следующих шагов:

1. Рассмотрим первое уравнение. Выберем первый ненулевой коэффициент и разделим все уравнение на него. Получим уравнение, в которое некоторая переменная x_i входит с коэффициентом 1;

2. Вычтем это уравнение из всех остальных, умножая его на такие числа, чтобы коэффициенты при переменной x_i в остальных уравнениях обнулились. Получим систему, разрешенную относительно переменной x_i, и равносильную исходной;

3. Если возникают тривиальные уравнения (редко, но бывает; например, 0 = 0), вычеркиваем их из системы. В результате уравнений становится на одно меньше;

4. Повторяем предыдущие шаги не более n раз, где n — число уравнений в системе. Каждый раз выбираем для «обработки» новую переменную. Если возникают противоречивые уравнения (например, 0 = 8), система несовместна.

В результате через несколько шагов получим либо разрешенную систему (возможно, со свободными переменными), либо несовместную. Разрешенные системы распадаются на два случая:

1. Число переменных равно числу уравнений. Значит, система определена;

2. Число переменных больше числа уравнений. Собираем все свободные переменные справа — получаем формулы для разрешенных переменных. Эти формулы так и записываются в ответ.

Вот и все! Система линейных уравнений решена!