Методичні вказівки до рішення завдання № 1

Дане завдання формулюється як завдання математичного програмування (у цьому випадку – лінійного програмування) і може бути вирішене одним з методів рішення завдань лінійного програмування.

За умови надання працівникам консалтингової фірми протягом семиденного робочого тижня двох вихідних днів підряд можлива побудова семи графіків роботи. Надання вихідних днів можна починати з будь-якого дня тижня. Якщо як перший варіант прийняти надання вихідних днів у суботу й неділю, то графік можливих варіантів роботи буде мати вигляд (табл. 1.3).

Таблиця 1.3

Графік варіантів надання вихідних і робочих днів, х - вихідний день

Варіанти	Дні тижня
	Понеділок	Вівторок	Середа	Четвер	П’ятниця	Субота	Неділя
1						х	х
2	х						х
3	х	х
4		х	х
5			х	х
6				х	х
7					х	х

Прийняті умовні позначки не є обов'язковими. Допускається використання будь-яких умовних позначок робочих і вихідних днів тижня.

При побудові графіка доцільно залишити місце: ліворуч – розміром в один стовпець і внизу – розміром у два рядки. Воно знадобиться для подальших доповнень.

Економіко-математична модель завдання математичного програмування складається з обмежуючих умов і функції мети. Складемо економіко-математичну модель даного завдання на основі графіка роботи, представленого в табл. 1.3.

Обмежуючі умови складаються для кожного дня тижня й мають вигляд:

або , (1.1)

де – індекс дня тижня;

– кількість варіантів змін;

– пропускна здатність -го дня тижня, чол.-днів;

– навантаження -го дня тижня, чол.-днів;

– варіанти, по яким в -й день робітники зайняті роботою;

– кількість робітників, які працюють по -му варіанту графіка, чол.

Одержимо обмежуючу умову для першого дня тижня – понеділка, коли у фірмі зайняті працівники, що працюють по варіантах 1, 4, 5, 6, 7. Отже обмежуюча умова для понеділка буде мати вигляд:

(1.2)

Аналогічним образом одержуємо лінійні нерівності для інших днів тижня.

Функція мети ( ) являє собою мінімальну кількість працівників, зайнятих діяльністю фірми по всіх варіантах графіка змін:

, (1.3)

де – індекс варіанта графіка надання вихідних і робочих днів;

– кількість варіантів змін;

– кількість працівників, які підлягають визначенню, чол.

Одержуємо економіко-математичну модель завдання на основі графіка, представленого в табл. 1.3.

(1.4)

Ліва частина лінійних нерівностей економіко-математичної моделі розрахунку й розміщення робочої сили з урахуванням періодичних коливань навантаження по днях тижня являє собою пропускну здатність кожного дня тижня. Наприклад, чисельне значення пропускної здатності суботи визначається формулою:

(1.5)

Консалтингова фірма може стабільно функціонувати за умови, що для кожного дня тижня буде дотримуватися умова:

(1.6)

тобто пропускна здатність будь-якого дня тижня повинна дорівнювати або перевищувати навантаження, яке поступає на підприємство в цей день.

Якщо втрати робочого часу дорівнюють нулю, то нерівності (1.4) перетворюються в рівності. Таким чином, графік надання вихідних і робочих днів буде оптимальним – таким, що забезпечує роботу фірми без втрат робочого часу – при виконанні умови:

(1.7)

Як вже було вказано, дане завдання в постановці (1.4) відноситься до класу завдань лінійного програмування й може бути вирішене відомими методами, наприклад, симплексом-методом.

У даному завданні, через невелике число невідомих ( ) пропонується наближений метод рішення завдання.

Розрахунок чисельності працівників, що працюють по кожному варіанту графіка, виконується за формулою:

, (1.8)

де – номер варіанта для , а – порядковий номер дня тижня для ; = ;

– чисельність працівників, які працюють по -му варіанту;

– навантаження відповідного дня тижня.

Для порядковий номер для тижня приймається рівним . Обчислимо, наприклад, кількість працівників, що працюють по п'ятому варіанту:

Формула (1.8) справедлива при дотриманні наступного співвідношення між коефіцієнтами добової нерівномірності:

, (1.9)

де – коефіцієнт добової нерівномірності -го дня тижня, обчислений за фактичним даними по формулі:

, (1.10)

де – навантаження -го дня тижня;

– значення середнього навантаження за тиждень, одержуване як середнє арифметичне денних навантажень;

– коефіцієнт добової нерівномірності -го дня тижня, розрахований за формулою:

, (1.11)

Аналогічно розрахунку по формулі (1.8) індекс при коефіцієнті добової нерівномірності навантаження визначається в такий спосіб:

(1.12)

Перш ніж приступитися до розрахунку чисельності працівників, варто спочатку визначити і перевірити дотримання вимоги (1.9). При дотриманні вимоги (1.9) для розрахунку чисельності працівників необхідно виконати корекцію вихідних даних.

Суть корекції полягає в наступному. Для дня тижня, у якого не дотримується умова (1.9), навантаження зменшується на величину , а у того дня, у якого навантаження є найменшим серед тих, які перебувають у першій дужці формули (1.11), здійснюється збільшення навантаження на ту ж величину. Визначається значення , і далі користуються вже розглянутою методикою. Наприклад, нехай задане навантаження по днях тижня (табл. 1.4).

.

Обчислимо значення и запишемо їх в табл. 1.4.

Після обчислення визначимо, що умова (1.9) дня =4 не виконується.

Таблиця 1.4

Зведена таблиця

Показники	Дні тижня
	1	2	3	4	5	6	7
	19	20	19	26	22	16	18
	0,95	1	0,95	1,3	1,1	0,8	0,9

Визначимо .

Маємо .

Нове значення .

Мінімальне значення ( = 6 у першій дужці).

Нове значення .

Визначимо:

, .

Для знаходження скористаємося формулою (1.11), приймаючи рівність лівої й правої частин.

Для = 4.

,

= 2.

Далі обчислюються нові значення:

;

;

;

.

Потім необхідно перерахувати ті значення , які залежать від і та, якщо всі нерівності (1.9) виконуються, зробити розрахунок за формулою (1.8). Якщо не виконуються, то повторити знаходження для чергового номера .

Необхідно відзначити, що метод – наближений, можуть бути отримані рішення, що відхиляються від оптимальних.

Отримані дробові значення варто округлити до цілих таким чином, щоб для кожного дня тижня було забезпечено наступне співвідношення:

(1.13)

У випадку, якщо для всіх днів тижня , то проведений розрахунок чисельності працівників й їхнє розміщення по днях тижня не буде оптимальним.

Результати розрахунку, що відповідають оптимальному графікові надання вихідних і робочих днів, варто помістити в табл. 1.5. Одночасно необхідно показати дотримання вимог (1.13) для всіх днів тижня.

Чисельність працівників, що працюють по кожному із семи варіантів, обчислена на основі вихідної інформації, представленої в табл. 1.1, склала відповідно: = 4,6 чол., = 5,6 чол., = 5,6 чол., = 2,6 чол., = 4,6 чол., = 7,6 чол., = 6,6 чол. Вимога дотримана для кожного дня тижня. Округляючи до цілих значень: = 5 чол., = 6 чол., = 5 чол., = 3 чол., = 4 чол., = 8 чол., = 7 чол., досягаємо виконання умови .

Оптимальна чисельність працівників складе величину, рівну (чол.).

Таблиця 1.5

Оптимальна чисельність робітників і їхнє розміщення по днях тижня

Чисельність робітників, чол.	Дні тижня
	Понеділок	Вівторок	Середа	Четвер	П’ятниця	Субота	Неділя
= 5	х	х
= 6		х	х
= 5			х	х
= 3				х	х
= 4					х	х
= 8						х	х
= 7	х						х
, чол.-дн.	26	27	26	29	30	25	23
, чол.-дн.	26	27	27	30	31	26	23

Висновок: оптимальна чисельність працівників склала 38 чоловік. Графіки їхньої роботи по днях тижня представлені в табл. 1.5.