- •§1. Основы выборочного метода 6
- •§2. Статистическая проверка гипотез 45
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений 70
- •Введение
- •§1. Основы выборочного метода
- •1.1. Понятие о выборочном методе.
- •1.2. Методы группировки экспериментальных данных
- •1.3. Выборочные оценки и ошибки выборки
- •1.4. Некоторые требования, предъявляемые к выборочным оценкам
- •1.5. Случайная повторная выборка для определения оценки доли признака
- •1.6. Случайная повторная выборка для определения оценки генеральной средней
- •1.7. Оценка генеральной дисперсии
- •1.8. Простая случайная бесповторная выборка
- •1.9. Эмпирическая ковариация
- •1.10. Межгрупповая дисперсия
- •2) Межгрупповая дисперсия:
- •Упражнения
- •1.36. Признак X(к) задан на множестве следующей таблицей:
- •Задания для контрольной работы № 1.
- •§2. Статистическая проверка гипотез
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии
- •2.3. Сравнение генеральных средних по выборкам одинакового объема при равных известных дисперсиях.
- •2.4. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при известных дисперсиях
- •2.5. Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий при равных неизвестных дисперсиях
- •2.6. Сравнение дисперсий двух нормальных распределений
- •2.7. Критерии согласия
- •2.8. Распределение долей признаков
- •2.9. Сравнение выборочной исправленной дисперсии с заданной дисперсией нормальной генеральной совокупности
- •Упражнения
- •2.10. Задания для контрольной работы № 2
- •§ 3. Обработка результатов наблюдений
- •3.1. Методические указания к лабораторной работе
- •3.2. Задания для лабораторной работы
- •Приложения
- •Ответы к упражнениям
- •Заключение
2.2. Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием нормальной генеральной совокупности при известной дисперсии
Пусть (x1, x2,…, xn) – выборка объёма n извлечена из некоторой генеральной совокупности, распределённой по нормальному закону с известным математическим ожиданием a и дисперсией . Необходимо сравнить выборочную среднюю с генеральной средней.
Нулевая гипотеза H0: E(X) = a.
Построим критерий проверки этой гипотезы. Рассмотрим величину .
Её математическое ожидание E ( ) = a, дисперсия D( ) = ,
следовательно ( )= .
Введем статистику
. (2.1)
Утверждение: Если гипотеза H0 верна, то случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение.
Пример 2.1. Рост абитуриентов среди поступающих юношей-подростков в Финансовую Академию при Правительстве РФ распределён по нормальному закону с математическим ожиданием a = 181 см и среднеквадратическим отклонением = 3 см. Для выдачи медицинских справок об основных физиологических показателях были случайно отобраны 8 абитуриентов, полученные данные о их росте приведены в следующей таблице:
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
X (Рост, см) |
185,5 |
180,3 |
182,7 |
177,7 |
178,8 |
181,9 |
174,2 |
180,7 |
180,7 |
|
Проверим гипотезу о равенстве средней по выборке и математического ожидания по этому показателю у обследованных абитуриентов. Положим уровень значимости = 0,1;
Решение. Введем переменную U = X – 180. Составим вспомогательную таблицу:
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
U |
5,5 |
0,3 |
2,7 |
-2,3 |
-1,2 |
1,9 |
-5,8 |
0,7 |
0,7 |
2,5 |
Вычислим среднее значение по выборке . Получим = 2,5 , следовательно = 182,5 см. Применяя формулу (2.1), вычислим
Zнабл = = 1,5
Из уравнения =0,5 – 0,05 = 0,45 находим по таблице функции Лапласа (приложение 2) правое критическое значение z2 = 1,65. Поскольку , то нулевая гипотеза H0 принимается.
2.3. Сравнение генеральных средних по выборкам одинакового объема при равных известных дисперсиях.
Пусть (x1, x2,…, xn) и (y1, y2,…, yn) – выборки одного и того же объёма n из нормальных распределений и соответственно, причем значение известно.
Далее будем считать, что случайные величины X и Y независимы. В этих предположениях проверим нулевую гипотезу H0: = . Построим критерий проверки Z этой гипотезы. Рассмотрим величину Z:
. (2.2)
Если гипотеза верна, вновь полученная случайная величина Z имеет стандартное нормальное распределение N(0,1).
Пример 2.2. Количество продаж молока по неделям (в тыс. литров), реализуемого в супермаркетах "Просто продукты" (ПП) и «Крестовский» (К), заданы в следующих таблицах:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
ПП |
15,5 |
10,3 |
12,7 |
7,7 |
8,8 |
11,9 |
4,2 |
4,2 |
10,7 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
К |
10,8 |
11,1 |
13,6 |
12,5 |
13.7 |
13.7 |
12,4 |
13.7 |
8,5 |
Проверим гипотезу H0 о равенстве математических ожиданий при альтернативной гипотезе, что они не равны. Предполагается, что для этих супермаркетов стандартные отклонения продаж молока известны и равны = 2. Зададим уровень значимости = 0,1.
Решение. Применив смещение обеих случайных величин на х0 = 10, т.е. введя переменные U=X-10, V=Y-10, составим служебные таблицы для новых переменных:
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
U |
5,5 |
0,3 |
2,7 |
-2,3 |
-1,2 |
1,9 |
-5,8 |
-5,8 |
0,7 |
-4 |
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
V |
0,8 |
1,1 |
3,6 |
2,5 |
3.7 |
3.7 |
2,4 |
3.7 |
-1,5 |
20,0 |
Последовательно получим:
,
= 2,222 12,222.
Вычислим статистику Z, применив формулу (2.2):
,
.
Из уравнения Ф(z2) = 0,5 - = 0,5 - 0,05 = 0,45 по таблице значений функции Лапласа (таблица приложения 2) находим левое критическое значение z1 = -1,65. Поскольку , то гипотеза H0 отвергается. Таким образом отличие средних продаж молока в этих супермаркетах значимо.