1.4. Некоторые требования, предъявляемые к выборочным оценкам

Для того, чтобы выборочная или статистическая оценка дала "наилучшее" оценивание параметра , она должна быть:

1. несмещенной;

2. состоятельной;

3. эффективной.

Определение 6. Статистическая оценка называется несмещенной, если . Если ;же , то оценка называется смещенной.

Замечание. Свойство несмещенности оценки означает, что отсутствуют систематические ошибки.

Определение 7. Статистическая или выборочная оценка называется состоятельной, если при она по вероятности стремится к оцениваемой характеристике , т.е.

Замечание. Свойство состоятельности обеспечивает сближение оценки с измеряемым параметром при увеличении числа измерений.

Определение 8. Статистическая оценка называется эффективной в некотором классе оценок, если о в этом классе на при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию, т.е. .

На практике трудно найти оценку, чтобы она удовлетворяла всем указанным свойствам, однако выполнение всех этих требований желательно.

1.5. Случайная повторная выборка для определения оценки доли признака

1) Точечная оценка доли признака.

Пусть . Точечной оценкой этой характеристики будет .

Очевидно, что эта оценка несмещенная.

По теореме Бернулли по вероятности стремится к p - следовательно, оценка состоятельна.

Так как при , следовательно, это эффективная оценка.

2) Интервальная оценка доли признака.

Для неизвестного параметра определяется соответствующий доверительный интервал при заданной вероятности.

Случайная величина при распределена по закону, близкому к нормальному, следовательно,

, (1.12)

Поскольку ,то

. (1.13)

Если р неизвестно, то в силу того, что является точечной оценкой для р, удовлетворяющей всем требованиям, на практике можно заменить .

(1.14)

и (1.15)

Замечание . Можно получить интервальную оценку доли признака р: исходя из следующего. Обозначим , тогда по заданной доверительной вероятности находим по таблицам t (приложение 2), откуда и

Возведем обе части неравенства в квадрат:

В результате преобразований получим квадратное неравенство оносительно р:

Если левая часть имеет корни р₁ и р₂, то в силу того, что коэффициент , , что и является интервальной оценкой р.

Пример 1.9. В случайной повторной выборке объемом 400 единиц, произведенной для определения доли стандартных деталей в партии, частота стандартных деталей оказалась равной 0,950. Определить, с какой доверительной вероятностью процент стандартных деталей в партии может быть принят равным 95 %, если допустимая погрешность при его определении равна ± 2 %.

Решение. По условию п = 400, , Определить Р₀. По формуле (1.15) находим:

Пример 1.10. Для определения процента изделий первого сорта в партии производится случайная повторная выборка объемом 200 единиц. В выборке число изделий первого сорта оказалось равным 160. Определить доверительные границы для процента изделий первого сорта в партии, которые можно принять с доверительной вероятностью равной 0,95.

Решение. По условию

Найти  и доверительные границы ;

Вычисляем

Определим t по известному значению Р₀ (по таблице):

Вычисляем следовательно

,

Отсюда доверительные границы : 0,8-0,055=0,745; и =0,8+0,055=0,855.или 74,5 % и 85,5 % .

Рассмотрим задачу об определнии объема выборки, гарантирующего заданную ошибку. Пусть значение выборочной частоты неизвестно, а доля признака р известна. Найдем объем выборки _, который обеспечивает точность выборки с доверительной вероятностью

Т.к. , по таблицам находим

, откуда

Пусть теперь неизвестна доля признака. В этом случае найдем гарантированный минимально необходимый объем выборки _, который обеспечивает точность выборки с доверительной вероятностью _.

Обозначим . Функция имеет максимум в точке х = 0,5, следовательно, и отсюда

. (1.16)

Пример 1.11. Определить необходимый объем выбоки, который дает ошибку выборки, не превышающую 0,05 с доверительной вероятностью 0,991, если известно, что доля признака равна 0,8.

Решение. По условию . Найти n.

1. По P₀ = 0,991 определяем .

2. По формуле (1.15) определяем

.

Пример 1.12. Определить необходимый объем выборки, который дает ошибку выборки при определении доли изделий первого сорта, не превышающую 0,05 с доверительной вероятностью 0,991, если значение этой доли неизвестно.

Решение. По условию По таблицам .

По формуле (1.16) находим

.

Как видим, объем выборки значительно вырос при неизвестной выборочной частоте.