- •Казунина г.А. , Пинчина л.В. Элементы математической статистики с применением Excel [электронный ресурс]: учеб. Пособие, КузГту.- 2009
- •Д.М. Левин, д. Стефан, т.С. Кребиль, м.Л. Беренсон. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel/ Москва, Санкт-Петербург, Киев, “Вильямс”, 2005, 1310 с.
- •Интервальные оценки ( доверительные интервалы) параметров распределения ( стр.230-234)
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности
- •Нормальный закон распределения
- •Лабораторная работа № 2.
- •Выборочный коэффициент корреляции служит оценкой коэффициента корреляции и определяется выражением
- •2. Нахождение параметров уравнения линейной регрессии по методу наименьших квадратов
- •По заданной ковариационной функции стационарного случайного процесса найти
- •Принцип максимума л.С. Понтрягина
- •Шаг 4. Находим фазовые траектории при различных возможных значениях управления.
- •Исключая время, получаем уравнение для нахождения фазовой траектории
- •Вопросы к экзамену.
Контрольная точка 1
Элементы математической статистики (2 лабораторных работы)
Z – преобразования и решение разностных уравнений
Характеристики динамических звеньев
Контрольная точка 2
4.Случайные процессы. Корреляционная теория.
5.Качественная теория решений ДУ. Фазовые портреты
6.Матричный способ решения систем линейных однородных дифференциальных уравнений порядка
Контрольная точка 3
7.Матричный способ решения систем линейных неоднородных дифференциальных уравнений порядка
8.Анализ систем линейных ДУ порядка
9.Элементы теории устойчивости
Контрольная точка 4
10.Элементы вариационного исчисления
РГР 1. Элементы математической статистики
Литература:
Сборник задач по математике для втузов, часть 3 « Теория вероятностей и математическая статистика» под ред. Ефимова А.В. М., « Наука», 1990 (имеется в библиотеке университета). Все ссылки даны на страницы этого задачника.
Казунина г.А. , Пинчина л.В. Элементы математической статистики с применением Excel [электронный ресурс]: учеб. Пособие, КузГту.- 2009
Д.М. Левин, д. Стефан, т.С. Кребиль, м.Л. Беренсон. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel/ Москва, Санкт-Петербург, Киев, “Вильямс”, 2005, 1310 с.
Лабораторная работа № 1
« Статистическое описание результатов наблюдений. Числовые оценки выборочного распределения. Интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии. Проверка гипотезы о виде распределения»
1. Получите выборку из чисел
2. Постройте вариационный ряд (упорядочите элементы выборки по величине). При этом можно использовать соответствующую команду на панели инструментов Excel.
3 .Представьте выборку в виде группированного статистического ряда (с.178- 181)
определите размах выборки
определите число интервалов группировки одним из способов:
а) Способ 1: выбираете число интервалов , а затем находите шаг (ширину интервала группировки) , б) Способ 2: выбираете шаг (ширину интервала группировки) по формуле .
Определите границы интервалов группировки , и так далее до тех пор, пока наибольший элемент выборки не попадет в последний интервал ( наилучшая ситуация, если он точно совпадает с верхней границей последнего интервала)
Найдите середину каждого интервала
Определите частоты - число элементов выборки, содержащихся в каждом -м интервале. При этом элемент, совпадающий с верхней границей интервала, условимся относить к следующему интервалу.
Найдите накопленные частоты . При этом сумма частот по всем интервалам должна совпадать с объемом выборки . Если сумма частот по всем интервалам не совпадает с объем выборки, то следует проверить, правильно ли найдены частоты.
Найдите относительные частоты , которые служат оценкой вероятности попадания элемента выборки в данный интервал
Найдите относительные накопленные частоты . Значения накопленных частот служат оценкой функции распределения и определяют эмпирическую ( выборочную) функцию распределения
Все полученные характеристики заносим в таблицу, которую называют статистическим рядом ( табл. 1.1 на стр. 181)
Номер интервала |
Границы интервала |
Середина Интервала
|
Частота
|
Накопленная Частота
|
Относитель- ная частота
|
Накопленная Относитель- ная частота
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Представить выборку графически (стр. 182-183)
строим полигон частот- ломаную с вершинами в точках ( )
строим полигон относительных частот- ломаную с вершинами в точках ( )
строим гистограмму - кусочно-постоянную функцию, которая на каждом интервале группировки принимает значение . Площадь ступенчатой фигуры под графиком гистограммы равна объему выборки .
Полигон относительных частот является статистическим аналогом функции плотности вероятности. Гистограмма и полигон частот отличаются от указанной характеристики растяжением в раз. Поэтому все данные функции также являются характеристиками закона распределения генеральной совокупности .
Примечание. Все перечисленные выше операции можно провести вручную или с использованием компьютерных программ. Самое доступное математическое обеспечение – Microsoft Excel при помощи команд: . При этом карманы (интервалы группировки) надо задать отдельно.
Пример выдачи данных.
4,050013 |
|
Размах |
|
Шаг |
|
Интервалы группировки |
||
6,389652 |
|
9,538387 |
|
0,9538 |
|
|
|
|
6,633733 |
|
|
|
|
|
5,0038 |
|
|
6,763927 |
|
|
|
|
|
5,9576 |
|
|
6,919323 |
|
|
|
|
|
6,9114 |
|
|
7,095465 |
|
|
|
|
|
7,8652 |
|
|
7,329342 |
|
|
|
|
|
8,819 |
|
|
7,452228 |
|
|
|
|
|
9,7728 |
|
|
7,634686 |
|
Карман |
Частота |
Интегральный % |
10,7266 |
|
|
|
7,647574 |
|
5,0038 |
1 |
1,00% |
|
11,6804 |
|
|
7,69012 |
|
5,9576 |
0 |
1,00% |
|
12,6342 |
|
|
7,83211 |
|
6,9114 |
3 |
4,00% |
|
13,58 |
|
|
7,884502 |
|
7,8652 |
8 |
12,00% |
|
|
|
|
8,052372 |
|
8,819 |
15 |
27,00% |
|
|
|
|
8,083358 |
|
9,7728 |
23 |
50,00% |
|
|
|
|
8,096873 |
|
10,7266 |
14 |
64,00% |
|
|
|
|
8,128401 |
|
11,6804 |
19 |
83,00% |
|
|
|
|
8,142575 |
|
12,6342 |
11 |
94,00% |
|
|
|
|
8,36074 |
|
13,58 |
5 |
99,00% |
|
|
|
|
8,398764 |
|
Еще |
1 |
100,00% |
|
|
|
|
8,418712 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8,452986 |
|
|
|
|
|
|
|
|
8,495559 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Определяем основные числовые характеристики выборочного распределения
Оценкой математическоо ожидания является выборочное среднее
,
если каждый элемент выборки встречается один раз.
Если элемент выборки имеет частоту , то выборочное среднеенаходят по формуле
.
В том случае, если выборка группированная, то вместо элемента выборки в этой формуле берут середину интервала, а за частоту берут число элементов, попадающих в данный интервал.
Выборочная дисперсия служит оценкой дисперсии распределения генеральной совокупности и определяется по следующим формулам
Если каждый элемент выборки встречается только один раз и объем выборки достаточно велик ( ), то следует использовать формулу
.
Для выборок малого объема несмещенную (исправлннную) дисперсию следует вычислять по формуле
Если частота каждого элемента , то для выборок большого объема следует использовать формулу
.
Для группированных выборок в этой формуле нужно использовать середину интервала и число элементов, попадающих в этот интервал.
Для вычислений вручную подробнее см. стр. 189-191
Все перечисленные операции можно выполнить в Excel согласно командам
Пример выдачи данных:
Столбец1 |
|
|
|
Среднее |
9,899346449 |
Стандартная ошибка |
0,177148981 |
Медиана |
9,79959739 |
Мода |
11,52953362 |
Стандартное отклонение |
1,771489807 |
Дисперсия выборки |
3,138176135 |
Эксцесс |
0,060472776 |
Асимметричность |
-0,273471727 |
Интервал |
9,531831893 |
Минимум |
4,050012901 |
Максимум |
13,58184479 |
Сумма |
989,9346449 |
Счет |
100 |
Уровень надежности(95,0%) |
0,351502073 |
|
|
|
|