- •Казунина г.А. , Пинчина л.В. Элементы математической статистики с применением Excel [электронный ресурс]: учеб. Пособие, КузГту.- 2009
- •Д.М. Левин, д. Стефан, т.С. Кребиль, м.Л. Беренсон. Статистика для менеджеров с использованием Microsoft Excel/ Москва, Санкт-Петербург, Киев, “Вильямс”, 2005, 1310 с.
- •Интервальные оценки ( доверительные интервалы) параметров распределения ( стр.230-234)
- •Проверка гипотезы о виде распределения генеральной совокупности
- •Нормальный закон распределения
- •Лабораторная работа № 2.
- •Выборочный коэффициент корреляции служит оценкой коэффициента корреляции и определяется выражением
- •2. Нахождение параметров уравнения линейной регрессии по методу наименьших квадратов
- •По заданной ковариационной функции стационарного случайного процесса найти
- •Принцип максимума л.С. Понтрягина
- •Шаг 4. Находим фазовые траектории при различных возможных значениях управления.
- •Исключая время, получаем уравнение для нахождения фазовой траектории
- •Вопросы к экзамену.
Принцип максимума л.С. Понтрягина
Принцип наименьшего действия в механике.
Наиболее общей формой закона движения в механике является принцип наименьшего действия. Согласно этому принципу механическая система полностью задается координатами и скоростями (импульсами ) элементов системы при помощи функции Лагранжа , которая является разностью между кинетической и потенциальной энергиями системы. Движение между двумя точками и всегда происходит таким образом, чтобы функционал действия принимал наименьшее возможное значение. Другими словами траектория движения должна быть экстремалью и удовлетворять уравнению Эйлера, которое в механике называют уравнением Лагранжа: .
Используя выражение для кинетической энергии, представляем функцию Лагранжа в виде . Тогда частная производная по совпадает с импульсом системы . А из уравнения Лагранжа следует, что . Пусть функция Лагранжа явно не зависит от времени. Тогда полную производную по времени записываем следующим образом:
.
Из последнего уравнения следует, что при движении по экстремали сохраняется постоянной величина ( ). Эта величина является полной энергией системы и ее называют гамильтонианом системы .
Запишем выражение для полного дифференциала этой функции:
.
Сопоставляя полученное выражение с общим выражением для полного дифференциала
, получаем уравнения, которые в механике называют уравнениями Гамильтона
.
Эти уравнения являются наиболее общей формой записи уравнений движения. Таким образом, если движение подчиняется уравнениям Гамильтона, то вдоль всей траектории энергия системы сохраняется.
Принцип максимума Л.С. Понтрягина в оптимальном управлении.
Пусть движение объекта задается системой дифференциальных уравнений
,
Здесь - вектор фазовых координат, а - вектор управления. Важным является то, что вектор управления не может быть произвольным. Он ограничен физическими и конструкционными особенностями задачи : .
Задача. Требуется найти такую функцию управления , которая обеспечила бы минимум функционала
.
Этот функционал может иметь различный смысл, например, может быть временем перехода системы из одного состояния в другое, временем затухания переходного процесса и т.д.
Рассмотрим линейную задачу на быстродействие. В этой задаче функционал имеет смысл времени перехода
системы из состояния в состояние .
Оптимальным называют управление , которое обеспечит перевод системы из одного состояния в другое за наименьшее время.
Однако, ограниченность управления не позволяет применить для решения задачи классическое вариационное исчисление. Задачу решил Л.С. Понтрягин следующим образом.
Кроме фазовой координаты в рассмотрение вводится также и фазовый импульс. Обозначим вектор фазового импульса как .
По аналогии с классической теоретической механикой рассматривается функция
,
которая называется гамильтонианом и по смыслу является полной энергией системы. Эта функция связана с векторами фазовых координат и импульсов уравнениями, аналогичными уравнениям Гамильтона в механике
Для оптимального управления вектор управления должен быть таким, чтобы при любых фазовых координатах и импульсах обеспечивался максимум гамильтониана как функции управления .
При этом необходимые условия существования экстремума имеют вид
.
Запись линейной системы в матричной форме имеет вид
.
Из последнего выражения гамильтониана следует, что он принимает наибольшее значение в случае, когда скалярное произведение максимально. Другими словами векторы фазового импульса и управления должны быть сонаправлены.
Рассмотрим конкретную задачу: точка массы движется по инерции. Как за наименьшее время остановить ее в начале координат под действием ограниченной силы?
Уравнение движения в данном случае имеет вид .
Шаг1. Переписываем дифференциальное уравнение в равносильную систему, вводя новые переменные
.
Записываем гамильтониан системы
Шаг 2. Записываем уравнения Гамильтона (второе уравнение из системы) и получаем систему уравнений для нахождения фазовых импульсов:
.
Решение системы имеет вид .
Шаг 3. Найденные выражения для импульсов подставляем в гамильтониан системы
.
Записываем необходимые условия существования экстремума:
.
Из этого выражения видно, что производная имеет только один нуль. Функция является строго монотонной и изменяет знак один раз.
Максимум гамильтониана как функции управления обеспечивается при условии: управление принимает максимальное по абсолютной величине значение. Поэтому возможными значениями управления являются