- •Матрицы
- •Направленные отрезки
- •Определение множества векторов
- •1. Коммутативности
- •2. Ассоциативности
- •3. Дистрибутивности
- •Линейная зависимость векторов
- •Базис. Координаты вектора в базисе
- •Действия с векторами в координатном представлении
- •(Сравнение векторов). Два вектора
- •(Сложение векторов). Координатное представление суммы двух векторов
- •(Умножение векторов на число). Координатное представление произведения вектора
- •Декартова система координат
- •1.8 Изменение координат при замене базиса и смещения начала координат
- •Ортогональные проекции
- •2.2. Скалярное произведение векторов и его свойства
- •2.3. Выражение скалярного произведения в координатах
- •2.4. Векторное произведение векторов и его свойства
- •2.5. Выражение векторного произведения в координатах
- •2.6. Смешанное произведение
- •2.7. Выражение смешанного произведения в координатах
- •2.8. Двойное векторное произведение
1.8 Изменение координат при замене базиса и смещения начала координат
Поскольку выбор системы координат может быть сделан различными способами, вопрос об изменении координат при переходе от одного базиса к другому и смещения начала координат представляет практический интерес. Найдем правила, выражающие зависимость координат произвольной точки пространства, заданных в одной системе координат, от координат этой же точки в другой декартовой системе координат.
Пусть даны две декартовы системы координат: “первоначальная” и “новая” (рис. 1.10). Выразим векторы “нового” базиса, а также вектор , через векторы “первоначального”. В силу теоремы 1.8 это можно сделать всегда и притом единственным образом:
(1.1)
Тогда справедлива
Теорема 1.12. Координаты произвольной точки в “первоначальной” системе координат связаны с ее координатами в “новой” соотношениями:
(1.2)
Доказательство.
Пусть некоторая точка M в “первоначальной” системе имеет координаты , а в “новой” системе – .
Получим связь между “старыми” и “новыми” координатами точки M. Имеют место соотношения:
и
M O
O
Рис. 1.10 |
Подставив выражения для векторов и в равенство
и перегруппировав слагаемые, получим соотношение вида , где |
Поскольку векторы линейно независимые, то их линейная комбинация, равная , обязана быть тривиальной, и потому или окончательно
Теорема доказана.
Определение 1.29. Формулы (1.2) называются формулами перехода от системы координат к системе координат .
Замечание. При использовании формул перехода следует обратить внимание на то, что «штрихованные» переменные в (1.1) и (1.2) находятся в разных частях этих равенств.
Замечание. Коэффициенты уравнений в формулах (1.8.2), выражающих “первоначальные” координаты через “новые”, образуют матрицу , столбцы которой есть координаты “новых” базисных векторов в “старом” базисе, а столбец содержит координаты “нового” начала координат в “первоначальном” базисе.
Определение 1.30. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису .
Теорема 1.13. Для матрицы перехода
Доказательство.
Столбцы матрицы образованы коэффициентами разложения линейно независимых векторов базиса по векторам базиса . Тогда из теорем 1.4.3 и 1.6.3 следует доказываемое утверждение.
Теорема доказана.
Задача 3. На параллелограмме построены две системы координат: “старая” и “новая” (см. рис. 1.11). Найти формулы перехода, выражающие “новые” координаты через “старые”, если и .
Решение.
O
Рис. 1.11
|
Из свойств параллелограмма находим соотношения, выражающие векторы “старого” базиса через “новые”:
Тогда матрица перехода , а . |
Следовательно, выражения “новых” координат через “старые” имеют вид
Формулы перехода между ортонормированными
системами координат на плоскости
Рассмотрим две ортонормированные системы координат и . Получим формулы перехода для случая, показанного на рис. 1.12.
Из геометрически очевидных соотношений
и
получаем матрицу перехода:
, и, если ,
O
Рис. 1.12 |
тогда “старые” координаты будут связаны с “новыми” как
В рассмотренном случае обе системы координат удается совместить последовательным выполнением параллельного переноса “старой” системы на вектор и поворота на угол вокруг точки
|
Однако добиться такого совмещения, используя только параллельный перенос и поворот, вообще говоря, нельзя. Соответствующий случай показан на рис. 1.13.
O
Рис. 1.13 |
Здесь, после совмещения векторов и , еще потребуется отражение вектора симметричное относительно прямой, проходящей через совмещенные векторы. Формулы перехода будут в этом случае иметь вид
|
Формально случаи, показанные на рис. 1.12 и рис. 1.13, можно различать, используя
Определение 1.31. Упорядоченная пара неколлинеарных векторов и на плоскости с совмещенными началами называется правоориентированной, если кратчайший поворот от вектора к вектору виден выполняющимся против часовой стрелки. В противном случае эта пара векторов называется левоориентированной.
Отметим, что для матрицы перехода , связывающей два ортонормированных базиса, , причем , если ориентация у обеих пар базисных векторов одинаковая (то есть если отражения не требуется), и для случая базисных пар различной ориентации.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
Лекция 4