2.7. Выражение смешанного произведения в координатах

Пусть задан правый базис и три вектора , и координатные разложения которых в этом базисе имеют вид , и

По свойствам векторного произведения имеем

где векторы были определены в 2.5.

Из этого определения вытекает, что

поэтому для получим

поскольку выражение, стоящее в больших круглых скобках, является разложением определителя 3-го порядка по последней строке. (См. теорему 1.1)

Замечания. 1. Из последней формулы и теоремы 2.1 следует справедливость теоремы 1.11.

2. В случае ортонормированного правого базиса , поэтому в таком базисе

3. Для введенных в 2.5 векторов справедлива теорема

Теорема 2.2 Тройка векторов образует базис, называемый взаимным базису .

Доказательство.

Для доказательства достаточно показать, что векторы линейно независимы.

Пусть существуют числа , такие, что

.

Умножив последовательно обе части этого равенства скалярно на , получим

(2.1)

Для девяти выражений имеем , где . Действительно, выражения суть смешанные произведения некомпланарных векторов и потому отличны от нуля. Остальные шесть выражений будут равны нулю как смешанные произведения векторов, среди которых имеется пара равных.

Подставляя значения выражений в систему равенств (2.1), получим, что все , , что доказывает линейную независимость векторов .

Теорема доказана.

2.8. Двойное векторное произведение

Определение 2.8 Двойным векторным произведением векторов , и называется вектор .

Теорема 2.3 Имеет место равенство

Доказательство.

Заметим, что, если векторы попарно ортогональны, то доказываемое равенство очевидно, поэтому далее будем предполагать, что числа и не равны нулю одновременно.

Обозначим По определению векторного произведения вектор ортогонален как вектору , так и

1. По свойствам смешанного произведения условие означает, что тройка векторов компланарная и, в силу леммы 1., где и некоторые числа.

2. Из условия следует, что

или

3. Рассмотрим теперь вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

а) (также как и вектор ) принадлежит плоскости, проходящей через векторы и ;

б) и (см. рис. 2.4).

Рис. 2.4

и получим выражение для смешанного произведения вида С одной стороны, по свойствам смешанного произведения и в силу , имеем

С другой стороны, вектор сонаправлен с , то есть такое, что . Поэтому

.

Найдем значение из соотношений

поскольку угол между и прямой. Значит

Приравнивая выражения для , получаем

или

Наконец, из соотношения, полученного в п.2, находим, что

Теорема доказана.