Свойства преобразования Фурье для непериодических сигналов

1. Сдвиг сигнала во времени (т.е. образование сигнала ) приводит к изменению фазовой характеристики исходной спектральной плотности на величину, т.е.

2. Изменение масштаба времени, т.е. сжатие или расширение сигнала во времени в n раз, т.е. формирование нового сигнала , приводит, соответственно, к расширению или сжатию во столько же раз модуля его спектральной плотности

3. Расщепление модуля спектральной плотности на две части, смещенные на соответственно, эквивалентно умножению сигнала на гармоническое колебание, т.е. сигналу соответствует спектральная плотность

4. Дифференцирование сигнала по времени, т.е. формирование сигнала видоизменяет спектральную плотность исходного сигнала следующим образом: ;

5. Интегрирование сигнала во времени видоизменяет спектральную плотность следующим образом:

6. Суммарному колебанию соответствует спектральная плотность

7. Произведению двух сигналов S(t)=f(t)g(t) в частотной области соответствует свертка их спектральных плотностей

8. Д ля непериодических сигналов переменные w и t в -преобразовании Фурье взаимозаменяемы, т.е.

9. Э нергия в спектре непериодического сигнала связана со спектральной плотностью равенством Парсевале:

Теорема Котельникова

Произвольный непериодический сигнал, высшая частота спектра которого не превышает f_в , полностью может быть восстановлен, если известны выборочные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени t=1/2f_в .

Это фундаментальное положение позволяет дискретизировать непериодический сигнал, обрабатывать его выборки с гарантией последующего восстановления мгновенных значений сигнала с заданной точностью.

Аналитическое значение ряда Котельникова для сигнала S(t) записывается как:

где n - номер выборки.

Аналитическое выражение теоремы Котельникова (или теоремы отсчетов) в частотной области:

Домашнее задание

Рассчитать и построить АЧХ и ФЧХ одиночного видеоимпульса, для варианта домашнего задания заданного в первой лабораторной работе, для случаев:

1. t₁ = 0τ

2. t₁ = 0,5τ

3. t₁ = 2τ

Выполненное домашнее задание является допуском к выполнению экспериментальной части лабораторной работы и должно содержать расчеты и построенные на отдельных графиках и в одинаковом масштабе АЧХ и ФЧХ. Расчеты и построения проводить в диапазоне частот от f=0 до f=4/τ

Описание программы spectrum analizer и основыные приёмы работы в ней

Spectrum Analizer - программа для нахождения спектральных характеристик сигналов, предназначенная для студентов радиотехнической специальности. Функциональные возможности данной программы позволяют строить сигналы любой формы и сложности, используя встроенный редактор. Результаты анализа отображаются в виде графиков, на которые можно нанести маркеры и распечатать.

Работа в программе начинается создания нового или загрузки ранее сохраненного сигнала. Чтобы создать новый сигнал, выберете меню Файл > Создать или аналогичную кнопку на панели управления. Будет вызван диалог, где Вы должны указать необходимые данные о создаваемом сигнале:

• размерности сигнала по X и Y. Они определяют последующую зону редактирования сигнала. Например, если Вы выбрали по X - микро, Y - кило, то после создания сигнала обзор окна редактора установится на зоне от 0 до 1мкс по X , и от 0 до 1кВ(А) по Y . Этот начальный масштаб, можно будет увеличить в 1000 раз или уменьшить в 1000 раз.

• единицы измерения сигнала - вольты или амперы.

• периодичность сигнала.

Теперь можно начинать построение сигнала, для этого нужно перейти в режим добавления. Режим добавления активен при редактировании сигнала. Чтобы его включить, выберете пункт меню Редактор > Добавить, или аналогичную кнопку на панели управления. В этом режиме можно создавать контрольные точки сигнала для придания ему нужной формы. Чтобы добавить точку, нужно нажать левую кнопку мыши. Если вы добавляете первую точку в сигнале, то при нажатии кнопки мышки добавится одна точка, и после отпускания еще одна, чтобы получился первый сегмент. Чтобы удалить лишние контрольные точки существует режим удаления. Режим удаления активен при редактировании сигнала. Чтобы его включить, выберете пункт меню Редактор > Удалить, или аналогичную кнопку на панели управления. В этом режиме можно удалять контрольные точки сигнала. Чтобы удалить точку, нужно навести на нее указатель мыши и нажать левую кнопку мыши. Когда останется две последних точки, удаление любой из них приведет к удалению последнего отрезка.

Когда вы добавили нужное количество контрольных точек нужно окончательно отредактировать наш сигнал. Для этого существует режим перемещения. Чтобы его включить, выберете пункт меню Редактор > Перемещение, или аналогичную кнопку на панели управления. В этом режиме можно перемещать контрольные точки сигнала для придания ему нужной формы. Чтобы переместить точку, нужно просто перетащить ее левой кнопкой мыши в нужное место. Но учтите, что при "приблизительном построении" мы не можем точно переместить контрольную точку, поэтому при спектральном анализе появляется некоторая неточность в виде дополнительных "лишних" гармоник. Чтобы этого избежать нужно "вручную" задать точные координаты каждой вершины. Для этого нужно в режиме перемещения выделить точку, потом выбрать пункт меню Редактор > Переместить вручную или соответствующую кнопку на панели управления. Откроется диалоговое окно, где можно ввести новые координаты точки. Когда точно введены координаты всех контрольных точек, можно считать, что наш сигнал задан, при желании его можно сохранить. Для этого выберете пункт меню Файл > Сохранить или аналогичную кнопку на панели управления. Если сигнал раньше сохранялся, то сохранение пройдет по старому имени файла, если нет, то откроется диалоговое окно, в котором необходимо указать имя файла. Чтобы сохранить файл под именем отличным от старого, выберете пункт Файл > Сохранить как. Если же вы хотите загрузить ранее созданный сигнал, выберете пункт меню Файл > Открыть. Появится диалоговое окно выбора файла. Выберете нужный файл и нажмите Открыть. После этого файл с сигналом будет открыт, редактор отмасштабирует обзор, чтобы весь сигнал поместился целиком. Теперь можно запускать анализатор и начинать анализ нашего сигнала.

Запуск анализатора производится пунктом меню Анализатор > Запуск или значком на панели управления. Если сигнал задан, то произойдет его анализ при помощи преобразования Фурье. Обзор окна редактирования переключится на семейство графиков, полученных в результате анализа. Время анализа зависит от сложности сигнала (количество точек), от наличия Безье - кривых, их уровня аппроксимации, а также от включения модуляции. После прохождения анализа, в окне просмотра появятся графики. Переключение между графиками и редактором производится выбором окон на панели управления программы. Если выбран какой-либо график, то появляется возможность его обзора и изучения с помощью скользящего курсора и маркеров. Чтобы активировать скользящий курсор, достаточно нажать левую кнопку мыши на графике. Курсор переместится за мышкой и останется на графике, показывая значения координат. Чтобы добавить маркер, установите курсор в нужную позицию и нажмите кнопку установить маркер. Появится диалоговое окно, где можно указать надпись на маркере и надписи координат. Их содержание может быть произвольным. После нажатия кнопки Применить, на графике появится маркер. Его можно перемещать левой кнопкой мыши. При переключении между графиками, маркеры уничтожаются.

В программе Spectrum Analizer можно создавать сигнал при помощи Безье – кривых. Безье – кривые – это функции, описываемые рациональным параметрическим полиномом третьей степени. Они позволяют строить кривые линии в редакторе сигналов. Для их построения нужно в режиме перемещения выделить отдельные сегменты сигнала. Чтобы преобразовать выделенный сегмент сигнала в Безье-кривую, нужно выбрать пункт меню Редактор > Сегмент > в Безье - кривую. После этого форму сегмента можно изменять с помощью двух дополнительных контрольных точек. Чтобы обратно сделать сегмент прямой линией, нужно выбрать пункт меню Редактор > Сегмент > в линию. С помощью Безье-кривых можно построить сигнал любой формы, не прилагая при этом больших усилий.

Для просмотра результатов построения в Spectrum Analizer можно перейти в режим обзора, он активен при редактировании сигнала. Чтобы его включить, выберете пункт меню Редактор > Обзор, или аналогичную кнопку на панели управления. В этом режиме Вы можете просматривать зону редактирования сигнала. Чтобы переместить вид, щелкните и потяните левой кнопкой мыши, чтобы настроить увеличение, щелкните и потяните правой кнопкой мыши.

Если вы хотите провести сравнительный анализ двух сигналов, можно использовать вспомогательный сигнал. Вспомогательный сигнал - это сигнал, который можно создать и редактировать вместе с главным, после включения анализатора получится два семейства характеристик, которые можно сравнить между собой и оценить их разницу в зависимости от различия главного и вспомогательного сигналов.

Для более удобной работы в Spectrum Analizer существует меню настроек

Диалоговое окно настроек вызывается пунктом меню Анализ > Настройки. Здесь находятся опции редактора сигналов и анализатора:

Аппроксимация кривых Безье - количество отрезков, которые будут заменять Безье-кривые при анализе сигнала. Может варьироваться от 1 до 50.

Цветовая палитра - набор цветов для редактора сигналов и просмотра графиков.

Округление по X ,Y - применяется в редакторе сигналов при перемещении контрольных точек, то есть их координаты округляются до ближайшего значения с заданным шагом.

Начальная, конечная частота - значения частот в герцах, которые определяют границы для анализа.

Также в Spectrum Analizer можно проводить модуляцию сигнала. Диалоговое окно "модуляция" вызывается пунктом меню Анализатор > Модуляция или аналогичной кнопкой на панели управления. В этом окне можно ввести параметры модуляции и ее тип.