4.2. Линейные рекуррентные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейное уравнение  - рекуррентное соотношение вида

,( 4.4 )

где ( i = 1,2,...,k ) - коэффициенты уравнения, являющиеся в общем случае функциями натурального аргумента.

Линейное уравнение с постоянными коэффициентами – частный случай уравнения (4.4), когда все коэффициенты - постоянные действительные числа, не зависящие от натурального аргумента n.

Линейное однородное уравнение  - линейное рекуррентное уравнение

, ( 4.5 )

у которого отсутствует правая часть, т.е. g (n) = 0.

Свойство аддитивности решений  однородного уравнения: если последовательности x (n), y (n) являются частными решениями уравнения (4.5), т.е.

,

то при любых (произвольных ) числах A , B последовательность

z (n) = A ∙ x (n) + B ∙ y (n),

представляющая собой линейную комбинацию решений x (n), y (n), также будет являться решением, т.е. для z (n) будет выполняться

.

Так, например, две последовательности , являются (в чем несложно удостовериться путем подстановки) решениями рекуррентного уравнения

f (n+2) – f (n+1) - 6f (n) = 0. ( 4.6 )

Как следует из свойства аддитивности, решениями уравнения (4.6) будут также любые линейные комбинации этих последовательностей и, в частности, функции натурального аргумента

, ,

где r – любое действительное число. В этом легко убедиться, если z (n) и w (n) подставить в уравнение ( 4.6 ).

Общее решение однородного уравнения  - последовательность , представляющая собой линейную комбинацию вида

, ( 4.7 )

где f j (n) ( j = 1,2,...,k ) - линейно независимые частные решения, составляющие фундаментальную систему решений.

Общее решение неоднородного уравнения - последовательность f (n), которую можно записать в виде суммы

, ( 4.8 )

слагаемыми которой служат

- общее решение однородного уравнения;

- любое частное решение неоднородного уравнения.

Так, для рассмотренного в качестве примера линейного однородного рекуррентного уравнения (4.6) общее решение можно записать в виде линейной комбинации

.

Если это уравнение дополнить правой частью – решетчатой функцией , в результате чего уравнение станет неоднородным, то последовательность

будет удовлетворять полученному неоднородному уравнению

,

т.е. являться его частным решением.

Таким образом, согласно (4.8) общее решение уравнения (4.6) можно записать следующим образом

.