4.3. Построение общего решения однородного рекуррентного уравнения по корням характеристического многочлена
Характеристический многочлен линейного рекуррентного уравнения (4.4) с постоянными коэффициентами – полином k-й степени
,
( 4.9 )
получающийся
посредством замены на
всех f (n + j ) ( j
=
0,1,...,k
),
фигурирующих в левой части
неоднородного уравнения
.
Уравнение
принято называть характеристическим
уравнением.
Формулировка
задачи.
Пусть имеется линейное однородное
рекуррентное уравнение
вида (4.5), в котором все коэффициенты
( i
=
1,2,...,k
)
- постоянные действительные числа.
Требуется
найти
его общее решение
,
т.е. построить фундаментальную систему
решений
,
входящих в линейную комбинацию (4.7).
Обоснование возможности использования характеристического многочлена для решения сформулированной задачи.
Запишем
решение уравнения
в виде
и подставим его в (4.5). После преобразований
получим
,
( 4.10 )
где
есть не что иное, как записанный в виде
(4.9) характеристический многочлен.
Так
как нас не интересует тривиальное
решение ( когда h
=
0 ), то из (4.10) следует - аргумент h
должен удовлетворять характеристическому
уравнению
.
Решая это уравнение, получим (с учетом
кратности)
k
корней. Каждому корню соответствует
одно частное решение, причем аналитический
вид решения зависит от типа (характера)
корня (действительный,
комплексный, кратный).
Правила определения вида частных решений уравнения (4.5) по корням характеристического многочлена:
1. Если h - простой (однократный) действительный корень, то ему соответствует частное решение вида
.
( 4.11
)
2. Если h = a + ib - простой комплексный корень, то этому корню и сопряженному с ним (т.е. паре сопряженных корней) соответствуют два линейно независимых частных решения
(
4.12 )
в которых
-
модуль комплексного числа (комплексного
корня) ;
β = arctg ( b / a ) - аргумент комплексного числа .
3. Если h - действительный корень кратности m, то ему
(точнее всем совпадающим корням ) соответствуют частные решения
,
,
,...,
,
( 4.13 )
составляющие группу m линейно независимых функций натурального аргумента.
4. Если h = a + ib - комплексный корень кратности m, то с учетом предыдущих правил группе совпадающих пар сопряженных корней соответствуют частные решения
(
4.14 )
составляющие группу 2m линейно независимых функций натурального аргумента.
Порядок построения общего решения линейного однородного рекуррентного уравнения с постоянными коэффициентами:
1. По заданному рекуррентному уравнению (4.5) записываем характеристический многочлен (4.9) и находим его корни.
2. Каждому корню характеристического уравнения, строго придерживаясь сформулированных правил и выражений (4.11)– (4.14), ставим в соответствие одно частное решение.
3. Используя полученную на предыдущем этапе совокупность частных решений (фундаментальную систему решений), записываем искомое общее решение в виде линейной комбинации (4.7).
Построению общих решений конкретных линейных однородных рекуррентных уравнений с помощью сформулированных выше правил посвящен пример 4.2.