П. Метод наименьших квадратов
Пусть заведомо известно, что y линейно зависит от x:
. (2.15)
Однако неизвестны значения констант и , а экспериментальные точки не укладываются на прямую вследствие экспериментальных погрешностей (рис. 2.4). В этом случае надо найти такие значения и , при которых минимальна сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от значений , даваемых формулой (2.15) при соответствующих экспериментальных ,
. (2.16)
Необходимое условие экстремума функции
. (2.17)
Вычислим первый дифференциал:
. (2.18)
Рис. 2.4. Экспериментальные точки и прямая, заданная уравнением регрессии .
Условие (2.18) будет выполнено, если обе частные производные будут равны нулю. Отсюда получается система двух уравнений
(2.19)
с двумя неизвестными и . Систему (2.19) можно преобразовать к следующему виду:
(2.20)
Система (2.20) имеет решение
, (2.21)
. (2.22)
Докажем, что при найденных значениях и реализуется минимум. Для этого достаточно доказать положительную определенность второго дифференциала при этих значениях и . Ищем второй дифференциал:
Второй дифференциал есть квадратичная форма переменных и ; матрица этой квадратичной формы
.
Согласно критерию Сильвестра для положительной определенности требуется выполнение двух неравенств
, .
Первое неравенство, очевидно, выполняется при любых значениях . Докажем, что второе неравенство выполняется, если не все имеют одинаковые значения (в реальных экспериментах все значения имеют разные значения). Если ввести в рассмотрение в n-мерном евклидовом пространстве вектор , все координаты которого равны единице, и вектор , координаты которого равны , то можно выразить через скалярные произведения этих векторов:
где и – символы скалярного произведения двух векторов и нормы (длины) вектора соответственно, и – единичные векторы, направленные вдоль векторов и соответственно, . Поскольку и – единичные векторы, то неравенство выполняется при любых . Если все значения одинаковы, то единичные векторы линейно зависимы: и, следовательно, ; причем , если равны какому-либо положительному числу, и , если равны какому-либо отрицательному числу. В этом случае . При различающихся значениях единичные векторы линейно независимы и выполняется строгое неравенство . В этом случае .
Таким образом, при и , даваемых формулами (2.21) и (2.22) сумма квадратов отклонений минимальна.
Контрольные вопросы
Дайте определение собственным и примесным полупроводникам.
Что такое ширина запрещенной зоны и энергия ионизации примесей?
Перечислите энергетические переходы электронов и укажите, какие носители заряда рождаются при каждом переходе.
В чем состоит сущность компенсационного метода измерения напряжения?
Что было бы, если бы в данной лабораторной работе сопротивление полупроводника измерялось омметром, а затем по измеренному сопротивлению вычислялась бы проводимость?