Основні поняття теорії ймовірностей

Одним із найважливіших понять теорії ймовірностей є поняття випробування (досліду, експерименту). Випробування полягає у тому, що при виникненні певних умов, які створюються виконується певна дія.

Приклади випробувань:

1. Вибір і перевірка якості деталей, що випускаються на підприємстві.

2. Рух частинки рідини, що має певну хаотичну траєкторію.

3. Купівля акцій того чи іншого підприємства.

4. Участь у розіграші лотереї.

5. Підкидання монети, кубика.

Наслідки випробувань є події.

Основним неозначуваним поняттям теорії ймовірностей є поняття „подія”. Всякий факт, який може відбутися або не відбутися в даному досліді чи спостереженні є подія.

Події позначаємо великими літерами: А, В, С, ... .

Приклад 1. Проводимо дослід – підкидання монети. Можуть відбутися слідуючи події: А– поява герба, В – поява цифри.

Приклад 2. Розглянемо дослід – підкидання грального кубика.

Можна розглядати такі події:

А₁ – поява одного очка;

А₂ – поява двох очок;

А₃ – поява трьох очок;

А₄ – поява чотирьох очок;

А₅ – поява п’яти очок;

А₆ – поява шести очок;

А₇ – поява семи очок;

В – поява парного числа очок;

С – поява непарного числа очок;

D – поява менше п’яти очок;

Е – поява не більше шести очок;

К – поява більше за два очка.

Кожна подія може відбутися або не відбутися. Для того щоб кількісно порівняти між собою події за степенем можливості їх появи, треба з кожною подією пов’язати деяке число, тим більше чим більш можлива подія. Таке число називають ймовірністю події. Це друге основне поняття теорії ймовірностей.

За одиницю вимірювання ймовірностей приймають ймовірність достовірної події, тобто такої події, яка не може не відбутися.

Позначимо ймовірність події А так: Р(А). В другому прикладі Р(Е)=1.

За нуль ймовірності події приймають ймовірність неможливої події. В другому прикладі Р(А₇)=0.

Ймовірність випадкової події є число розміщене між нулем і одиницею:

0 Р(А) 1.

Декілька подій в даному досліді складають повну групу подій, якщо в результаті експерименту неодмінно відбудеться одна з цих подій.

В другому прикладі події А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ складають повну групу елементарних (найпростіших) подій.

Події В і С також складають повну групу подій.

Декілька подій називають несумісними в даному досліді, якщо жодні дві події не можуть відбутися разом. В другому прикладі події А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ несумісні: події В і С також несумісні.

Події називаються рівноможливими, якщо за умовами симетрії можна вважати, що жодна з цих подій не є більш можливою, ніж інші. В другому прикладі А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ рівноможливі.

Якщо події складають повну групу, несумісних і рівноможливих, то такі події називаються випадками (шансами).

Випадок називається сприятливим для деякої події, якщо в результаті цього випадку відбувається і дана подія. В другому прикладі випадки А₁, А₃, А₅ сприятливі події С; випадки А₂, А₄, А₆ сприятливі події В; випадки А₁, А₂, А₃, А₄ сприятливі події D.

Якщо дослід має схему випадків (шансів), то ймовірність події А в даному досліді дорівнює відношенню числа сприятливих для А випадків до загальної кількості випадків можливих в даному досліді.

Позначимо через Р(А) – ймовірність події А, n – загальне число випадків, можливих в даному експерименті, m – число сприятливих випадків для події А.

Тоді, Р(А)=

Як вказано, 0 Р(А) 1.

В другому прикладі ймовірність події такі:

Р(А₁)= ; Р(А₃)= ; Р(А₄)= ; Р(А₅)= ; Р(А₆)= ; Р(В)= (сприятливі випадки А₂ А₄ А₆) m=3, n=6.

Р(Д)= ; Р(Е)= (достовірна подія Е).