Теорема множення ймовірностей
Подія А називається незалежною від події В, якщо ймовірність події А не залежить від того, відбулася чи ні подія В і залежною, якщо ймовірність події А змінюється в залежності від того, що подія В відбулася.
Аналогічно дається означення незалежності декількох подій.
Приклад. Дослід складається в підкиданні двох монет.
Розглянемо події: А – поява герба на І-й монеті, В – поява герба на ІІ-й монеті.
Ймовірність події А не залежить від події В. Події А і В незалежні.
Приклад. В урні знаходиться 2 білі кулі і 1 чорна. Дві людини виймають по кулі. Знайдемо ймовірність подій: А – перша людина вийняла білу кулю, В – друга людина вийняла білу кулю.
Якщо друга людина ще не брала
кулю, то Р(А)=
.
Якщо друга людина уже вийняла білу кулю,
то Р(А/В)=
.
Ймовірність події А, обчислена при умові, що подія В уже здійснилася Р(А/В) називається умовною ймовірністю події А.
Умову незалежності події А від події В можна записати так:
Р(А)=Р(А/В).
Поняття залежності і незалежності подій взаємне, тобто, якщо подія А незалежна(залежна) від події В, то і подія В незалежна (залежна) від події А.
Теорема (теорема множення ймовірностей).
Ймовірність добутку двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з цих подій на умовну ймовірність другої, при умові, що перша відбулася.
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).
Доведення. Теорему можна довести лише для схеми випадків. Для подій, що не зводяться до схеми випадків, вона приймається за аксіому.
Нехай дослід має n можливих випадків; події А сприяють m випадків; події В сприяють l випадків, а події АВ – k випадків.
Тоді, Р(АВ)=
;
Р(А)=
.
Обчислимо умовну ймовірність Р(В/А).
Оскільки подія А відбулася, то з раніше можливих n випадків залишилися можливими тільки ті m випадків, які були сприятливими для події А.
А для події В залишились сприятливими k випадків тому, що в результаті відбулася подія АВ.
Отже,
Р(В/А)=
; Р(АВ)=
=
=Р(А)Р(В/А).
Аналогічно можна показати, що Р(АВ)=Р(В)Р(А/В).
Отже, Р(АВ)=Р(А)Р(В/А);
Р(АВ)=Р(В)Р(А/В).
НАСЛІДОК 1. Якщо подія А і В незалежні, то Р(АВ)=Р(А)Р(В).
Методом повної математичної індукції можна довести, що ймовірність добутку n залежних подій обчислюється за формулою:
Р(А1А2...Аn)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1).
Задача. В урні 2 білих і 3 чорних кулі. З урни виймають дві кулі підряд. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Розв’язання. Позначимо А – обидві вийняті кулі білі; В – перша вийнята куля біла; С – друга вийнята куля біла.
Р(В)=
;
Р(С/В)=
;
А=ВС;
Р(А)=Р(ВС)=Р(В)Р(С/В)=
·
=
Задача. В лісі заблукала дитина. На пошуки вийшло 10 людей. Ймовірність знайти сьогодні дитину для кожного шукача дорівнює 0,2. Чому дорівнює ймовірність того, що дитину знайдуть сьогодні? Шукачі працюють незалежно один від одного.
Розв’язання.
А –
дитину знайдуть сьогодні;
– дитину не знайдуть сьогодні;
1
– не знайде перший шукач;
2
– не знайде 2-й шукач; ...;
10
– не знайде 10-й шукач.
Р( і)=1-0,2=0,8 (і=1,2,...,10)
= 1 2... 10
Р( )=Р( 1)Р( 2)...Р( 10)=0,810
Р(А)=1-Р( )=1-0,810=1-0,107=0,893≈90%.