Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Интеграл_Уч_2.doc

Скачиваний:

Добавлен:

05.05.2019

Размер:

2.8 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция f(x) определена для всех x  а и интегрируема на любом отрезке [a, b]. Если существует

то этот предел называется несобственным интегралом функции f(x) на луче [a, b) и обозначается . В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится, а функция f(x) интегрируема в несобственном смысле на [a, ).

Если предел при b   не существует, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции f(x), x(–, b], с нижним бесконечным пределом интегрирования:

= .

Несобственный интеграл с бесконечными верхним и нижним пределами интегрирования функции f(x), x (–, ), определяется следующим образом:

= + ,

где c – некоторое число. Предполагается, что на любом отрезке [A, B](–, ) существует интеграл в собственном, обычном смысле. Если интеграл существует для некоторого c(–, ), то он существует и для любого другого c(–, ) и в этом случае

= + .

Иногда несобственный интеграл от f(x) по (–, ) определяют следующим образом:

= .

Можно показать, что оба определения несобственного интеграла эквивалентны.

Основные формулы для несобственных интегралов

Линейность интеграла. Если несобственные интегралы

сходятся, то для любых чисел M и N сходится интеграл

причем

= + .

Формула Ньютона–Лейбница. Если функция f(x), a ≤ x < , непрерывна и F(x) – какая-либо ее первообразная, то

= = F(+) – F(a),

где

F(+ ) = .

Формула замены переменной. Пусть f(x), a ≤ x < , – непрерывная функция, (t),  ≤ t < , – функция с непрерывной на интервале производной (t), причем

() = a, a <  (t) < ,

тогда

= .

Формула интегрирования по частям. Если u(x) и v(x), a ≤ x < , непрерывно дифференцируемы и существует, то

= – ,

где

= – u(a)v(a).

Перечисленные свойства верны и для интегралов по лучу ( или по прямой

Рассмотрим примеры.

Вычислить следующие интегралы или установить их расходимость.

2.1. . 2.2. . 2.3. .

2.4. . 2.5. . 2.6. .

2.7. , a>0. 2.8. . 2.9. .

Решение.

2.1. = = = .

2.2. = = =

= = .

2.3. = + .

Интеграл в левой части равенства сходится только в том случае, если сходятся оба интеграла в правой части. Если хоть один интеграл расходится, то и наш интеграл расходится. Рассмотрим второй интеграл в сумме:

= = =–- =.

Следовательно, наш интеграл расходится.

2.4.

= =2 = = = .

2.5.

= =

не существует. Значит, интеграл расходится.

2.6.

= = ln1 – = – .

2.7. Пусть p = 1. Тогда

= = .

Пусть теперь p 1. Тогда

= = .

Если p < 1, то =  и, следовательно, интеграл расходится. Если p > 1, то и в этом случае

= .

Таким образом, интеграл , a > 0, сходится тогда и только тогда, когда p > 1.

2.8.

= = = = , p > 1.

Интеграл сходится (см. задачу 2.7) только при p > 1.

2.9. Применяем формулу интегрирования по частям:

= = + =

= – = .

Признаки сходимости

Признак сравнения. Пусть функции f(x) и g(x) определены на луче [a, ), неотрицательны и интегрируемы в собственном смысле на любом отрезке [a, b], b > a, и пусть f(x) ≤ g(x) для всех x  [a, ). Тогда, если сходится интеграл , то сходится и интеграл . Если расходится интеграл , то расходится и интеграл .

Предельный признак сравнения. Пусть f(x)  0, g(x)  0 при a ≤ x <  и функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b] при любом b > a. Тогда, если существует предел , причем   0,   , то интегралы

сходятся или расходятся одновременно.

Для функций, не сохраняющих знак на луче [a, b), признаки сравнения неприменимы. Для таких функций f можно попробовать получить оценку

| f(x)| ≤ g(x).

Если интеграл сходится, то будет сходиться и интеграл .

Интеграл

называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Можно доказать, что если несобственный интеграл сходится абсолютно, то он сходится. Таким образом, если удается подобрать интегрируемую (в несобственном смысле) функцию g(x) такую, что |f(x)| ≤ ≤ g(x), то интеграл от f(x) будет сходящимся. Подобрать такую функцию можно не всегда, так как из сходимости интеграла не вытекает его абсолютная сходимость.

Интеграл

называется условно сходящимся, если он сходится, а интеграл

расходится.

Укажем два признака сходимости, применимых для незнакопостоянных функций.

Признак Дирихле. Интеграл

сходится, если выполняются два условия:

а) функция f(x) непрерывна и функция

F(b) =

ограничена при b[a, ), т. е. существует постоянная M > 0 такая, что неравенство

F(b)| = ≤ M

|выполняется для всех b > a;

б) функция g(x) монотонна и

Признак Абеля. Интеграл

сходится, если:

а) интеграл

сходится;

б) функция g(x) монотонна и ограничена: | g(x)| ≤ L, L = const, a ≤ x < .

Замечание. Признаки сравнения, Дирихле, Абеля верны и для интегралов по лучу (–, b]. Формулировки признаков повторяются практически дословно, с заменой луча [a, ) на луч (–, b]. Исследование интеграла по всей оси сводится к исследованию интегралов по лучам

= + .

Чаще всего берут c = 0.

Рассмотрим примеры. Исследовать на сходимость следующие интегралы.

2.10. . 2.11. . 2.12. .

2.13. . 2.14. . 2.15. .

2.16. . 2.17. .

2.18. .

Решение.

2.10. Так как

и интеграл сходится (см. задачу 2.7), то по признаку сравнения сходится и наш интеграл.

2.11. Поскольку неравенство ≤ выполняется при всех x и интеграл = сходится, то по признаку сравнения сходится и наш интеграл.

2.12. Представим наш интеграл в виде суммы

= + .

Второй интеграл сходится в обычном (собственном) смысле, так как функция f(x) = непрерывна на отрезке [–1, 0]. Таким образом, необходимо исследовать на сходимость первый интеграл в сумме.

Так как при больших x

f(x) =  = ,

то возьмем для сравнения функцию g(x) = и используем предельный признак сравнения. Имеем

= = = = 1.

Так как сходится (задача 2.7), то и наш интеграл сходится согласно предельному признаку сравнения.

2.13. В данном случае можно использовать как предельный признак сравнения, так и признак сравнения. Действительно,

f(x) = ≤ = = g(x).

Интеграл сходится (задача 2.7), следовательно, сходится и наш интеграл.

2.14. Используем предельный признак сходимости:

f(x) =  = = , x (–, –2).

Возьмем для сравнения функцию g(x) = > 0. Вычислим предел.

= = =

=1.

Следовательно, наш интеграл согласно предельному признаку сравнения сходится.

2.15. Сделаем замену переменной x = , dx = , 0  ,   0. Тогда

= = .

Так как

| f(t)| = ≤ = g(t),

а интеграл сходится (он равен ), то интеграл , (а значит, и наш), сходится абсолютно, следовательно, сходится.

2.16. Поскольку при x  1

f(x)=  ,

а интеграл = расходится (задача 2.7), то и наш интеграл, согласно признаку сравнения, расходится.

2.17. Имеем при больших x

f(x) =  =  .

Возьмем для сравнения функцию g(x) = и применим предельный признак сравнения

= = =

= = = 2.

Так как 2  0 и 2  , то, согласно задаче 2.7 и предельному признаку сравнения, наш интеграл сходится.

2.18. Применим к интегралу формулу интегрирования по частям:

= = + =

= + .

Поскольку

≤ ,

то интеграл в правой части сходится абсолютно. Следовательно, сходится интеграл в левой части. Отметим, как можно показать, что интеграл в левой части сходится условно (см. ниже решение задачи 2.19).

2.19. Доказать, что интеграл