- •Глава 2 определенные интегралы
- •§ 1. Основные свойства определенных интегралов и их вычисление
- •Замена переменной в определенном интеграле
- •Интегрирование по частям
- •Рекуррентные формулы
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Основные формулы для несобственных интегралов
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 3. Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Основные формулы
- •Признаки сходимости
- •Задачи для самостоятельного решения
- •§ 4. Приближенные вычисления определенных интегралов
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Вычислить несобственные интегралы.
3.11. . 3.12. .
3.13. . 3.14. .
3.15. .
Исследовать на сходимость следующие интегралы.
3.16. . 3.17. .
3.18. . 3.19. .
3.20. .
§ 4. Приближенные вычисления определенных интегралов
Формула трапеций. Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей точками xk = a + kh, где , k = 0, 1, …, n. Для приближенного вычисления интеграла можно применить формулу трапеций:
f(x0)+ f(x1)+…+ f(xn–1)+ .
Пусть функция f имеет на отрезке [a, b] ограниченную вторую производную f. Тогда погрешность R вычисления по формуле трапеций оценивается следующим образом:
| R | ≤ = ,
где M2 = .
Формула Симпсона (формула парабол). Разобьем отрезок [a, b] на 2n равных частей точками xk = a + kh, где . Для приближенного вычисления используется формула Симпсона (формула парабол):
{f(x0)+ f(x2n)+4[f(x1)+ f(x3) +…+ f(x2n–1)]+
+ 2[f(x2)+ f(x4)+…+f(x2n–2)]}.
Если функция f(x) имеет на отрезке [a, b] ограниченную четвертую производную , то погрешность R формулы Симпсона можно оценить так:
| R |≤ = ,
где M4 = .
Рассмотрим примеры (Примеры взяты из книги И.А. Марона «Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах». – М.: Наука, 1970).
4.1. Вычислить интеграл
с точностью до 0,01 по формуле трапеций.
Решение. Вычислим вторую производную от f(x) = Получим = (4x2 – 2) . Несложно найти M2 = = 2. Таким образом, погрешность R формулы трапеций в данном случае оценивается так:
| R |≤ = .
Чтобы достигнуть требуемой точности, число n следует выбрать из неравенства < 0,01. Решая неравенство, получаем n > 4. Возьмем n = 5. Тогда h = 0,2. Составим таблицу (xk = 0,2k, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5). Вычисления будем вести с четырьмя знаками после запятой.
k |
xk |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0,2 |
–0,04 |
0,9608 |
2 |
0,4 |
–0,16 |
0,8521 |
3 |
0,6 |
–0,36 |
0,6977 |
4 |
0,8 |
–0,64 |
0,5273 |
5 |
1,0 |
–1,00 |
0,3679 |
0,12 + 0,9608 + 0,8521 + 0,6977 + 0,5273 + =
= 0,23,72185 = 0,7444.
4.2. Вычислить по формуле Симпсона интеграл с точностью до = 0,0001.
Решение. Чтобы добиться заданной точности, надо определить число отрезков разбиения 2n. Найдем четвертую производную от f(x) = . Последовательно дифференцируя, находим
= (0,0001x4 – 0,0004x3+0,12x2 – 2,4x + 24) = ,
где P(x) – многочлен, заключенный в круглых скобках. Мы не будем искать точное значение M4 = , нам достаточно постоянной M такой, что M4 ≤ M и . Поэтому мы оценим сумму модулей отдельных слагаемых, входящих в сумму . Имеем
≤ + + + + .
Все слагаемые – убывающие на [0,5;1,5] функции, принимающие наибольшее значение при x = 0,5. Следовательно, ≤ 0,0002 + 0,016 + + 0,96 + 38,4 + 768 < 808 при x [0,5;1,5]. Учитывая, что e0,1x – возрастающая функция, находим e0,1x ≤ e0,15 < 1,2, x [0,5; 1,5]. Таким образом,
≤ 8081,2 < 1000
при x[0,5; 1,5]. Число 2n определится из неравенства
= < < 0,0001.
Решая неравенство относительно 2n, получаем 2n > 15. Возьмем 2n = 20. Тогда шаг h интегрирования будет равным
h = = = 0,05.
При более точном подсчете получается, что при 2n = 20
| R | < 3,510–5.
Если мы будем подсчитывать yi = с пятью знаками после запятой, т.е. с погрешностью не более 10–5, то ошибка окончательного округления будет тоже не больше 10–5. Таким образом, общая ошибка будет меньше, чем 4,510–5 < 0,0001.
Составим таблицу значений функции y = для значений x от 0,5 до1,5 с шагом h = 0,05. Вычисления ведутся с пятью знаками после запятой.
i |
xi |
0,1 xi |
e0,1 xi |
yi= |
0 |
0,50 |
0,050 |
1,05127 |
2,10254 |
1 |
0,55 |
0,055 |
1,05654 |
1,92098 |
2 |
0,60 |
0,060 |
1,06184 |
1,76973 |
3 |
0,65 |
0,065 |
1,06716 |
1,64178 |
4 |
0,70 |
0,070 |
1,07251 |
1,53216 |
5 |
0,75 |
0,075 |
1,07788 |
1,43717 |
6 |
0,80 |
0,080 |
1,08329 |
1,35411 |
7 |
0,85 |
0,085 |
1,08872 |
1,28085 |
8 |
0,90 |
0,090 |
1,09417 |
1,21574 |
9 |
0,95 |
0,095 |
1,09966 |
1,15754 |
10 |
1,00 |
0,100 |
1,10517 |
1,10517 |
11 |
1,05 |
0,105 |
1,11071 |
1,05782 |
12 |
1,10 |
0,110 |
1,11628 |
1,01480 |
13 |
1,15 |
0,1,15 |
1,12187 |
0,97554 |
14 |
1,20 |
0,120 |
1,12750 |
0,93958 |
15 |
1,25 |
0,125 |
1,13315 |
0,90652 |
16 |
1,30 |
0,130 |
1,13883 |
0,87602 |
17 |
1,35 |
0,135 |
1,14454 |
0,84781 |
18 |
1,40 |
0,140 |
1,15027 |
0,82162 |
19 |
1,45 |
0,145 |
1,15604 |
0,79727 |
20 |
1,50 |
0,150 |
1,16183 |
0,77455 |
Сведем полученные данные в следующую таблицу.
I |
xi |
yi= |
|
при i =0 и нечетном i |
при i =20 и четном i |
||
0 |
0,50 |
|
2,10254 |
1 |
0,55 |
1,92098 |
|
2 |
0,60 |
|
1,76973 |
3 |
0,65 |
1,64178 |
|
4 |
0,70 |
|
1,53216 |
5 |
0,75 |
1,43717 |
|
6 |
0,80 |
|
1,35411 |
7 |
0,85 |
1,28085 |
|
8 |
0,90 |
|
1,21574 |
9 |
0,95 |
1,15754 |
|
10 |
1,00 |
|
1,10517 |
Окончание таблицы
I |
xi |
yi= |
|
при i =0 и нечетном i |
при i =20 и четном i |
||
|
|
|
|
11 |
1,05 |
1,05782 |
|
12 |
1,10 |
|
1,01480 |
13 |
1,15 |
0,97554 |
|
14 |
1,20 |
|
0,93958 |
15 |
1,25 |
0,90652 |
|
16 |
1,30 |
|
0,87602 |
17 |
1,35 |
0,84781 |
|
18 |
1,40 |
|
0,82162 |
19 |
1,35 |
0,79727 |
|
20 |
1,50 |
|
|
0,77455 =2,87709 |
=12,02328 |
=10,62893 |
Применяя формулу Симпсона, получаем
(2,87709 + 412,02328 + 210,62893) =
= 72,22807 = 1,2038.