Давление жидкости

Для вычисления силы давления жидкости используют закон Паскаля, согласно которому сила давления жидкости на площадку S с глубиной погружения h равна

P = γhS,

где γ – удельный вес жидкости.

6

Рис. 2.26

.2. Найти давление бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотою h = 3,5 м и радиусом r = 1,5 м, на его стенки, если удельный вес γ = 900 кг/м³ (рис. 2.26).

Решение. Расположим систему координат так, как показано на рисунке. Ось симметрии цилиндра приходит по оси Oz, верхняя «крышка» цилиндра находится на плоскости xOy. Разобьем отрезок [0;3,5] на оси Oz на n частей произвольным образом: 0 < z₁ < z₂ <…< z_n = 3,5.

Вычислим площадь полоски между плоскостями z = z_i–1 и z = z_i :

∆S_i = 2π ∙ 1,5∆z_i,

где ∆z_i = z_i – z_i–1. Тогда давление жидкости на стенки полоски будет равно

∆P_i = γhS  900z_i∆S_i = 900 ∙ 3π∆z_i,

P = = 1350πz² = 16537,5π кг  16,5π т.

Работа силы

Если непрерывная переменная сила F(x) действует в направлении оси Ox, то работа силы на отрезке [x₁, x₂] выражается интегралом

A = .

6.3. Найти работу, затраченную на выкачивание воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого a, радиус r (рис. 2.27).

Решение. Расположим систему координат так, как показано на рис. 2.27, а. Отрезок [0; r] по оси Oz разобьем на n частей: 0 < z₁ < z₂ < … ... < z_n = r. Вычислим объем части полуцилиндра, заключенной между плоскостями z = z_i–1 и z = z_i (рис. 2.27, б). С точностью до бесконечно малых, которыми можно пренебречь, можно считать этот слой прямоугольным параллелепипедом высотой ∆ z_i = z_i – z_i–1 и шириной

а б

Рис. 2.27

и длиной a. Тогда ∆v_i = ∆z_i. Удельный вес воды будем считать равным единице. Элементарная работа, совершаемая для поднятия слоя воды между плоскостями z = z_i–1 и z = z_i на высоту z_i, равна

A_i = .

Следовательно,

A = = = .

6.4. Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 6 см, если сила в 10 н растягивает ее на 1 см?

Решение. Согласно закону Гука сила F н, растягивающая пружину на x м, равна

F = kx,

где k – коэффициент пропорциональности. Коэффициент k найдем из условия: при x = 0,01 м F = 10 н. Следовательно, k = 10/0,01= 1000, и F(x) = 1000 x. Тогда

A = = = 1,8 дж.

Статические моменты и центр тяжести плоской фигуры.

Пусть фигура на плоскости xOy ограничена кривыми y =  (x), y =  (x),  (x) ≤  (x) и прямыми x = a, x = b (a ≤ x ≤ b) и пусть по этой криволинейной трапеции равномерно распределена масса, так что поверхностная плотность постоянна. Тогда статические моменты M_x и M_y относительно осей Ox и Oy соответственно выражаются интегралами

M_x = ,

M_y = .

Центр тяжести фигуры имеет координаты

x_c = , y_c= ,

где S – площадь фигуры.

6.5. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями x = 0, x = /2, y = 0, y = sin x (плотность ρ = 1).

Решение. Найдем вначале статические моменты M_x и M_y:

M_x = = = = ,

M_y = = – = = sin x = 1.

Найдем площадь фигуры.

S = = = 1.

Находим координаты центра тяжести фигуры:

x_c = 1, y_c = .

Задачи для самостоятельного решения

6.6. Скорость точки меняется по закону v =  м/с. Найти путь, пройденный точкой за первые девять секунд после начала движения.

6.7. Реактивный самолет в течение 20 с увеличил свою скорость от 360 до 720 км/ч. Считая движение самолета равноускоренным, найти, с каким ускорением летел самолет и какое расстояние пролетел он за это время.

Указание. Скорость равноускоренного движения выражается формулой v = v₀ + at, где v₀ – начальная скорость, a – ускорение, t – время.

6.8. Вычислить силу давления воды (удельный вес γ = 1) на каждую из сторон погруженной вертикально в нее пластинки, имеющей форму равнобедренного треугольника с основанием a м и высотой h м, предполагая, что вершина треугольника лежит на свободной поверхности воды, а основание параллельно ей.

6.9. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки в 1 н она растягивается на 1 см?

6.10. Определить работу, необходимую для запуска ракеты весом P с поверхности Земли вертикально вверх на высоту h.

Указание: F(x) = , где x – расстояние от центра Земли, m_р – масса ракеты, m_з – масса Земли, – коэффициент пропорциональности, где R – радиус Земли.

6.11. Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из котла, имеющего форму полусферы радиуса R.

6.12. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной линиями y = 2 x – x², y = 0 (плотность ρ = 1).