- •И.М.Баранова, н.А.Часова, г.Д. Алексеева, а.Н.Муравьев
- •Математика
- •Брянск 2006
- •Пусть имеется выборка результатов испытаний
- •1. Показатели центра распределения
- •2. Показатели рассеяния
- •3. Показатели формы распределения
- •Напомним, что мода – точка максимума дифференциальной функции распределения.
- •6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности
- •7. Статистическая проверка гипотез
- •8. Предварительный выбор закона распределения
- •Проверка гипотезы о виде распределения
- •Приложение 2
- •ЛИтература
- •241037, Г. Брянск, пр. Станке Димитрова, 3, редакционно–издательский
1. Показатели центра распределения
Для характеристики центра распределения в вариационном ряду используются:
Средняя арифметическая, которая определяется по формуле:
где – значение признака для дискретного ряда или середина интервала для интервального статистического ряда.
В нашем случае: .
Мода – наиболее часто встречающееся значение признака. Для дискретного ряда мода – значение признака, соответствующего наибольшей частоте. Для интервального ряда мода вычисляется по следующей приближенной формуле:
,
где – нижняя граница модального интервала, то есть интервала, имеющего наибольшую частоту;
– длина интервала;
– частота модального интервала;
– частота интервала, предшествующего модальному;
– частота интервала, следующего за модальным.
В примере модальным является 6 интервал.
Мода может быть определена приближенно графическим способом. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых приближенно будет модой распределения. В рассматриваемом примере = 4.11 (рисунок 1).
Медиана – значение признака, которое делит весь упорядоченный ряд значений пополам. Для дискретного ряда, если число вариант нечетно, т. е. n = 2k+l, Me = , при четном n = 2k Me = /2. Для интервального статистического ряда медиана вычисляется по следующей приближенной формуле:
где – нижняя граница медианного интервала, то есть интервала, которому соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину объема совокупности; – длина интервала; – частота медианного интервала; – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
В примере медианным является 3-й интервал.
.
По кумуляте (рисунок 2) приближённо определим значение медианы: на уровне 0.5 (накопленная относительная частота) проведем горизонтальную линию до пересечения с кумулятой; в точке пересечения опустим перпендикуляр на ось абсцисс; точка, в которой перпендикуляр пересекает ось абсцисс, показывает приближенное значение медианы. В нашем примере .
2. Показатели рассеяния
Для характеристики отклонения значений признака от среднего арифметического используются:
Дисперсия, которая определяется по формуле:
В нашем случае: .
Среднее квадратическое отклонение
В нашем случае: .
В качестве относительной характеристики рассеяния используют коэффициент вариации, который показывает, насколько велико рассеяние значений признака по сравнению со средней арифметической. Коэффициент вариации определяется по формуле:
В отличие от дисперсии и среднего квадратического отклонения коэффициент вариации – величина безразмерная, что позволяет сравнивать изменчивость признаков как в пределах одной совокупности, так и разных совокупностей, независимо от единиц измерения разных сопоставляемых признаков.
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).
Исходя из величины коэффициента вариации, можно установить характеристику изменчивости, например, по следующей схеме:
Коэффициент вариации, |
До 5% |
6–10% |
11–20% |
21–50% |
50% |
Изменчивость |
слабая |
умеренная |
значительная |
большая |
очень большая |
В нашем случае: , следовательно, изменчивость умеренная, совокупность однородна.