3. Показатели формы распределения

На практике приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинным распределением. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят такие характеристики, как коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса ε. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения ;‌‌ , то можно предположить близость этого распределения к нормальному.

Коэффициент асимметрии определяется по формуле:

.

Если =0, то ряд симметричен относительно моды.

При >0 скошенность вправо, средняя арифметическая правее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена справа от моды. При правосторонней асимметрии .

При <0 скошенность вправо, средняя арифметическая левее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена слева от моды. При левосторонней асимметрии .

Напомним, что мода – точка максимума дифференциальной функции распределения.

В нашем случае: .

К оэффициент асимметрии отрицательный, следовательно “длинная часть” кривой, полученной на основании опытных данных, расположена слева от моды и средняя арифметическая левее моды (рисунок 3). Заметим, что в нашем случае коэффициент асимметрии близок к нулю.

Рисунок 3. Левосторонняя асимметрия.

Коэффициент эксцесса определяется по формуле:

Если ε^*>0, то кривая имеет более высокую и острую вершину, чем нормальная кривая (островершинное распределение); если ε^*<0, то сравниваемая кривая имеет более низкую и "плоскую" вершину, чем нормальная кривая (плосковершинное распределение).

Замечание: –2 < ε^*< . Если ε^* близок к –2, то кривая двухвершинная. При ε = –2 кривая распадается на 2 островершинные кривые, что говорит о неоднородности статистического материала.

В нашем случае: .

К оэффициент эксцесса отрицательный, следовательно, вершина кривой ряда распределения ниже, чем у кривой нормального распределения.

Рисунок 4. – Плосковершинное распределение.

6. Точечные и интервальные оценки параметров генеральной совокупности

Задачи математической статистики практически сводятся к оценке свойств генеральной совокупности по результатам случайной выборки.

Любую функцию от результатов выборочных наблюдений принято называть статистикой (выборочной характеристикой). Статистики обычно и используются для построения статистических оценок параметров генеральной совокупности, когда точные значения этих параметров нам неизвестны. Статистику , используемую как оценку параметра , называют точечной оценкой. Из точечных оценок в приложениях математической статистики наиболее часто используют среднюю арифметическую как оценку математического ожидания М(х)=а, выборочную дисперсию D* и среднее квадратическое отклонение , как оценки генеральной дисперсии D(x) и среднего квадратического отклонения .

В математической статистике в зависимости от задачи статистику рассматривают либо как СВ, либо как число (конкретную реализацию СВ). Возникает вопрос, каким требованиям должны отвечать точечные оценки, чтобы их можно было считать в каком–то определенном смысле "хорошими". Эти требования характеризуют понятиями несмещенности, состоятельности и эффективности.

Оценку называют несмещенной, если при любом объеме выборки n ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру , то есть М( ) = . В случае большой выборки оценка параметра называется состоятельной, если по мере роста числа наблюдений n (то есть в случае конечной генеральной совокупности объемом N или при в случае бесконечной генеральной совокупности) она стремится к оцениваемому параметру .

Несмещенная оценка параметра называется эффективной, если среди прочих несмещенных оценок того же параметра она обладает наименьшей дисперсией.

Точечные оценки параметров генеральной совокупности в нашем примере:

Точечная оценка без указания степени точности и надежности малоинформативна, так как наблюдаемые значения статистики есть лишь значения СВ. Она может существенно отличаться от оцениваемого параметра при малом объеме выборки, что приводит к грубым ошибкам.

Интервальной оценкой параметра называют такой интервал , относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице вероятностью , что он содержит неизвестное значение . Величину называют доверительной вероятностью или надежностью оценки параметра Θ: , – некоторые функции от результатов выборочных наблюдений . Разность 2 = – между верхней и нижней границами доверительного интервала называют длиной доверительного интервала, а величину – точностью оценки.

Для построения интервальных оценок необходимо знать закон распределения статистики .

На практике закон распределения генеральной совокупности неизвестен. В этом случае пользуются приближенным методом построения доверительных интервалов, суть которого в следующем: если считать, что распределение выборочных характеристик в больших выборках асимптотически нормальное (для дисперсии это справедливо при n >100, а для средней арифметической при n > 30), то доверительные интервалы строятся следующим образом

где – оцениваемый параметр; * – выборочная оценка параметра; – число, определяемое из равенства

.

1. По таблице значений функции Лапласа

находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное . При .

– стандартные ошибки выборочной характеристики (главный член среднего квадратического отклонения).

Стандартные ошибки:

1) Выборочной средней . В нашем примере

2) Выборочной дисперсии

В примере

3) Выборочного среднеквадратического отклонения : .

В примере

4) Выборочного коэффициента асимметрии :

5) Выборочного коэффициента эксцесса

6) Выборочного коэффициента вариации :

7) Выборочной медианы

Построим доверительные интервалы для параметров генеральной совокупности нашего примера при .

1. Для математического ожидания:

.

2. Для дисперсии:

.

3. Для среднеквадратического отклонения:

.

4. Для коэффициента асимметрии:

.

5. Для коэффициента эксцесса:

.

6. Для коэффициента вариации:

.

7. Для медианы:

.