Раздел 8. Выборочный метод

1. Определите интервал отбора единиц совокупности в выборку при 1%-ой, 5%-ой, 10%-ой и 20%-ой механической выборке?

2. Определите и обоснуйте тип ошибки репрезентативности при следующих условиях отбора:

а) для установления среднего размера вклада населения в коммерческих банках производится отбор счетов в соответствии с их номерами. Будет ли ошибка выборки случайной?

б) с целью изучения вопросов оплаты труда промышленные предприятия отбирают механическим путем через определенный интервал исходя из данных о численности промышленно-производственного персонала. Как это отразится на структуре выборочной совокупности?

в) отбор семей сотрудников ведется на предприятиях всех форм собственности на основе списка работающих. Какие семьи получают преимущества при таком отборе?

3. Из приведенных выборочных обследований определите данные, которые содержат систематическую ошибку регистрации, а также данные, имеющие систематическую ошибку репрезентативности, в следующих случаях:

а) при изучении производительности труда из совокупности заведомо были исключены рабочие со стажем менее одного года;

б) при обследовании состояния животноводства в фермерских хозяйствах из-за небрежности счетчиков в некоторых хозяйствах не полностью был учтен молодняк скота;

в) при наблюдении с целью выявить количество смежных специальностей, которыми владеют рабочие завода, не учитывались ученики;

г) при выборочном обследовании бюджета времени работающих, как оказалось впоследствии, затраты времени на прачечную и химчистку вместо статьи «Покупка товаров и получение услуг» были включены в статью «Работа на дому».

4. Укажите вид выборки в следующих случаях:

а) при обследовании дневной загрузки продавцов магазина города отбирался каждый десятый среди продовольственных магазинов и каждый пятый среди непродовольственных;

б) для изучения потерь рабочего времени на заводе каждый час в карте наблюдения фиксируется, чем заняты рабочие;

в) при изучении среднего количества слов в телеграмме отбиралась каждая двадцатая телеграмма;

г) при обследовании продолжительности срока службы металлорежущих станков отбирался каждый третий цех предприятия;

д) при выборочном обследовании бюджета времени работающих отбирается каждое пятое предприятие из общего списка их отрасли, а затем на отобранных предприятиях отбирается каждый десятый рабочий или служащий.

5. Что произойдет с величиной предельной ошибки выборки, если вероятность, гарантирующую результат:

а) увеличить с 0,954 до 0,997;

б) уменьшить с 0,954 до 0,683;

в) увеличить с 0,683 до 0,954;

г) уменьшить с 0,997 до 0,954;

д) увеличить с 0,683 до 0,997?

6. Определите, как изменится средняя ошибка случайной выборки, если необходимую численность выборочной совокупности:

а) уменьшить в 2,5 раза; на 40%;

б) увеличить в 1,5 раза; на 20%.

Как нужно применить необходимую численность выборки, чтобы средняя ошибка уменьшилась в 2 раза; на 50%; на 30%?

7. В каком соотношении находятся при прочих равных условиях ошибки собственно – случайной бесповоротной и поворотной выборок при 1%-ном, 5, 10 и 20%-ном отборе?

8. Как изменится объем собственно-случайной повторной выборки, если среднее квадратическое отклонение увеличится в два раза.

9. Какой должна быть необходимая численность выборки при механическом отборе, чтобы установить генеральную долю с ошибкой ( ) не более 2%, если дисперсия доли неизвестна, а отбор производится из совокупности, включающей:

а) 1000 единиц;

б) 10 000 единиц;

в) 100 000 единиц?

Вероятность, гарантирующая результаты выборочного наблюдения, равна 0,954.

10. Каким должен быть объем случайной бесповторной выборки из генеральной совокупности численностью 100 000 единиц при стандартном отклонении выборочной доли 0,43, предельной ошибке ( ), не превышающей 5%, и доверительной вероятности 0,997?

11. С целью определения трудоемкости изготовления деталей на предприятии произведен хронометраж работы 50 рабочих, отобранных в случайном порядке. По данным обследований получено, что выборочная средняя трудоемкость изготовления деталей составила 14 мин, а выборочное среднее квадратическое отклонение 2 мин. Определите:

а) как изменится ошибка выборки, если объем выборочной совокупности увеличить в 1,5 раза?

б) как скажется на ошибке выборки увеличение дисперсии в 2 раза?

в) как изменится ошибка выборки, если с увеличением дисперсии в 1,44 раза объем выборочной совокупности увеличить в 2,56 раза?

г) как изменится ошибка выборки, если численность генеральной совокупности будет в 3 раза больше?

12. Из партии импортируемой продукции на посту Московской региональной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 30 проб продукта А. В результате проверки установлена средняя влажность продукта А в выборке, которая оказалась равной 6% при среднем квадратическом отклонении 1%. С вероятностью 0,954 определите пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.

13. С целью определения средних затрат времени при поездках на работу населением города планируется выборочное наблюдение на основе случайного повторного отбора. Сколько людей должно быть обследовано, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборочной средней не превышала 1мин при среднем квадратическом отклонении 15 мин?

14. В одном из лесничеств Рязанской области методом случайной выборки обследовано 1000 деревьев с целью установления их среднего диаметра, который оказался равным 210 мм при среднем квадратическом отклонении 126,5 мм. С вероятностью 0,954 определите доверительный интервал среднего диаметра деревьев по генеральной совокупности в целом.

15. Из партии в 1 млн. шт. мелкокалиберных патронов путем случайного отбора взято для определения дальнобойности боя 1000 шт.

Результаты испытаний представлены в следующей таблице:

Дальность боя, м	25	30	35	40	45	50	Итого
Число патронов, шт.	120	180	280	170	140	110	1000

С вероятностью 0,954 определите среднюю дальность боя по выборке, ошибку выборки и доверительный интервал средней дальности боя для всей партии патронов.

16. В порядке механической выборки обследован возраст 100 студентов вуза из общего числа 2000 человек. Результаты обработки материалов наблюдения приведены в таблице:

Возраст, лет	17	18	19	20	21	22	23
Число студентов, чел.	11	13	18	23	17	10	8

Установите:

а) средний возраст студентов вуза по выборке;

б) величину ошибки при определении возраста студентов на основе выборки;

в) доверительный интервал среднего возраста студентов при вероятности 0,997.

17. В процессе технического контроля из партии готовой продукции методом случайного бесповторного отбора было проверено 70 изделий, из которых 4 оказались бракованными. Можно ли с вероятностью 0,954 утверждать, что доля бракованных изделий во всей партии не превышает 7%, если процент отбора равен 10?

18. С целью определения среднего размера вклада в отделениях Сбербанка города предполагается провести механическую выборку лицевых счетов из общего числа 67 800. По данным предыдущего обследования установлено среднее квадратическое отклонение размера вклада, равное 140 руб. С вероятностью 0,997 определите необходимый объем выборочной совокупности при условии, что ошибка выборки не превысит 10 руб.

19. Финансовая корпорация с численностью сотрудников 750 человек путем механической выборки планирует определить долю сотрудников со стажем работы свыше 3 лет. Какова должна быть необходимая численность выборки, если по данным предыдущего обследования дисперсия стажа составила 0,16, а результаты выборочного наблюдения требуется гарантировать с вероятностью не ниже 0,954 и ошибкой ( ) не более 5%?

20. Сколько телефонных разговоров необходимо обследовать на основе случайной повторной выборки, чтобы ошибка ( ) при определении доли телефонных разговоров с длительностью более 5 мин не превышала 10% с вероятностью 0,954?

21. На площади в 50 га, занятой пшеницей, определяется с помощью выборочного метода доля посева, пораженная насекомыми-вредителями. Сколько проб надо взять в выборку, чтобы при вероятности 0,997 определить искомую величину с точностью ( ) до 3%, если пробная выборка показывает, что доля пораженной посевной площади составляет 6%.

22. Данные текущего учета населения города с численностью жителей 1млн. 250 тыс. человек были подвергнуты выборочной разработке на основе случайной бесповторной выборки. В результате было установлено, что доля женщин в возрасте до 55 лет составила 43%, доля мужчин в возрасте 16-60 лет – 36%, доля населения в возрасте до 16 лет – 17%. Каков должен быть процент отбора, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка доли ( ) по указанным группам населения не превышала 0,5%?

23. Определите, сколько персональных компьютеров следует подвергнуть обследованию в порядке случайной бесповторной выборки, чтобы с вероятностью 0,954 относительная предельная ошибка (в процентах к среднему сроку службы компьютера) не превышала 3%. Коэффициент вариации среднего срока службы компьютеров по данным предыдущих обследований составляет 15%, а вся партия состоит из 1250 компьютеров.

24. На основе случайной бесповторной выборки планируется 10%-ное обследование доли различных признаков, характеризующих население области. Какова должна быть минимальная численность населения области, чтобы предельная ошибка выборки ( ) с вероятностью 0,997 при определении доли всех подлежащих регистрации признаков не превышала 0,5%?

25. С целью определения средней месячной заработной платы персонала гостиниц города было проведено 25%-ное выборочное обследование с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников внутри каждого типа гостиниц использовался механический отбор. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Тип гостиницы	Средняя месячная заработная плата, руб.	Среднее квадратическое отклонение, руб.	Число сотрудников, чел.
1 2 3 4	870 1040 1260 1530	40 160 190 215	30 80 140 190

С вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной заработной платы всех сотрудников гостиниц.

26. При обследовании семейных бюджетов населения города была организована 10%-ная типическая пропорциональная выборка. Результаты обследования представлены в следующей таблице:

Группы населения по семейному положению	Объем выборки	Доля расходов на оплату жилья, %
Одинокие Семейные	35 115	9 6

С вероятностью 0,954 установите границы доли расходов на оплату жилья населением города.

27. В распоряжении организатора выборочного обследования магазинов области имеются предварительные данные о генеральной совокупности:

Типические группы магазинов	Численность групп	Дисперсия товарооборота
Продовольственные Непродовольственные	650 350	1,2 0,7

С вероятностью 0,954 определите предельные ошибки среднего товарооборота при механическом внутри групп отборе 100 магазинов, пропорциональном: а) численности типических групп; б) вариации признака в группах.

28. При планировании выборочного обследования занятости мужского населения сельских районов республики имеются следующие данные:

Район	Численность мужчин в трудоспособном возрасте, тыс. чел.	Удельный вес занятых мужчин, % (оценка)
1 2 3 4	3,5 5,6 1,7 2,8	75 80 70 85

С вероятностью 0,954 определите необходимый объем типической пропорциональной выборки для установления границ генеральной доли: а) при повторном отборе; б) при бесповторном отборе в районах, чтобы ошибка выборки не превышала 5%.

29. На АО «Машиноаппарат» 2400 станков, в том числе токарных – 960, фрезерных -720, шлифовальных – 480, прочих – 240. С целью исследования производительности станков планируется организовать типическую пропорциональную выборку станков с механическим отбором внутри групп. По результатам пробного обследования установлено: среднее квадратическое отклонение составило 60, а доля межгрупповой вариации в общей вариации признака составляет 57%. Сколько станков необходимо отобрать из каждой группы, чтобы ошибка выборки не превышала 20 единиц при вероятности 0,997?

30. Партия электроламп упакована в 200 коробок по 100 шт. в каждой. Средняя длительность горения электроламп составляет 1150 ч, а межсерийная дисперсия – 200. Качество электроламп проверяется на основе серийного 3%-ного случайного бесповторного отбора. Определите: а) предельную ошибку при установлении средней длительности горения электроламп; б) пределы контролируемого параметра в генеральной совокупности. Выводы сделайте с вероятностью 0,954.

31. Для обследования всхожести семян они были распределены на 50 равновеликих серий. На основе механического отбора было проверено 10 серий, в которых удельный вес взошедших семян составил 80%. С вероятностью 0,954 установите границы доли всхожести семян во всей партии, если межсерийная дисперсия составила 0,1.

32. В процессе подготовки выборочного обследования качества импортируемых кондитерских изделий была проведена пробная проверка 8 ящиков для сбора данных о вариации их веса. Результаты проверки представлены в следующей таблице:

№ ящика	1	2	3	4	5	6	7	8
Средний вес коробки в ящике, г	540	520	550	500	510	530	560	520

Сколько ящиков с кондитерскими изделиями необходимо отобрать для проверки качества в порядке бесповторного отбора, чтобы с вероятностью 0,997 ошибка выборки не превышала 20 г, если генеральная совокупность включает 1000 равных по величине серий?

33. На склад коммерческой организации поступило 480 коробок с микрокалькуляторами, упакованными по 24 калькулятора в каждой коробке. Планируется проверить соответствие калькуляторов международным стандартам. Определите необходимый объем выборки, если результат требуется гарантировать с вероятностью 0,954 и ошибкой ( ) не более 5%, а межгрупповая дисперсия составляет 51%.

34. Качество партии молочных продуктов, состоящей из 5000 пакетов, упакованных в ящики по 20 пакетов, проверялось с помощью 2%-ной серийной бесповторной выборки. Результаты проверки представлены в следующей таблице:

Показатели	Ящики
	1	2	3	4	5
Средний срок хранения, дней Удельный вес продуктов со сроком хранения не менее 3 дней	3 0,88	2,5 0,76	3,5 0,92	2 0,70	4 0,98

С вероятностью 0,997 определите: а) пределы среднего срока хранения молочных продуктов во всей партии; б) пределы доли молочных продуктов со сроком хранения не менее 3 дней.

35. По материалам, полученным в результате обработки данных комбинированной выборки, оказалось, что средний процент выполнения норм выработки надомными работниками на родственных малых предприятиях составил 120%. Средняя из дисперсий этого показателя на отдельных малых предприятиях у данной категории работников равна 676, а дисперсия между предприятиями – 81. С вероятностью 0,954 рассчитайте предельную ошибку выборочной средней при условии, что на первой ступени было отобрано 200 малых предприятий, а численность обследованных работников составила 2000.

36. С целью проверки качества продукции путем контроля среднего размера изделий на комбинате стройматериалов проведена двухступенчатая бесповторная комбинированная выборка партии изделий из совокупности в 5000 шт. Изделия упакованы в ящики по 100 шт. в каждом. На первой ступени в случайном порядке было отобрано 10% всех ящиков, на втором тем же способом - 10% изделий из каждого ящика. Результаты обследования показали, что межсерийная дисперсия среднего размера изделий составила 9 мм, а средняя из внутрисерийных дисперсий – 36 мм. С вероятностью 0,997 определите предельную ошибку среднего размера детали. Рассчитайте этот показатель при условии проверки того же количества изделий на основе одноступенчатой бесповторной выборки. Сравнив результаты, сделайте выводы о точности двух способов формирования выборочной совокупности.

37. С вероятностью 0,954 можно ли утверждать, что относительная ошибка доли не превысит 6%, если по данным предыдущих обследований известно, что коэффициент вариации равен 48%, 29% в вариации признака приходится на межгрупповую, а объем комбинированной выборки составит на первой ступени 870 групп, а на второй – 435 единиц наблюдения?

38. Результаты сплошного учета скота в фермерских хозяйствах одного из районов Черноземной зоны России по состоянию на 1 января 1998 г. и результаты 10%-ного контрольного обхода в данном районе приведены в следующей таблице:

Виды скота	Общая численность поголовья в фермерских хозяйствах по результатам сплошного учета	Численность скота в фермерских хозяйствах, охваченных контрольным обходом
		По результатам сплошного учета	По результатам контрольного обхода
Крупный рогатый скот Овцы Свиньи	2650 7 340 11 980	320 680 1 200	331 714 1 224

Уточните данные сплошного учета на основе результатов контрольного обхода и определите численность поголовья скота в районе по видам на 1 января 1998 г.

39. При проведении учета количества коммерческих палаток в одном из городов было зарегистрировано следующее их количество: в районе А – 104, в районе Б – 92, в районе В – 120, в районе Г – 68. С целью проверки данных сплошного учета были проведены выборочные контрольные обходы части обследованных районов. Их результаты содержатся в следующей таблице:

Районы	Зарегистрировано коммерческих палаток при сплошном учете	Установлено при контрольном обходе
А Б В Г	26 23 30 17	29 20 30 18

Установите численность коммерческих палаток в городе с учетом результатов контрольных обходов.

40. По данным сплошного наблюдения рабочих предприятия средние затраты времени на изготовление однотипных деталей оказались равными 26 мин. Повторным обследованием 10% рабочих установлено, что средние затраты времени у них составляют 27 мин., в то время как по данным сплошного наблюдения они равны у отобранных рабочих 25 мин. Скорректируйте средние затраты времени на изготовление деталей с учетом результатов повторного выборочного обследования.