- •Введение в теорию множеств
- •1.1.2. Основные понятия и определения теории множеств
- •1.1.3. Два принципа интуитивной теории множеств
- •1.1.4. Сравнение множеств
- •1.2.1. Операции над множествами
- •1.2.2. Диаграммы Венна
- •1.2.3. Свойства операций над множествами
- •Дистрибутивность.
- •Формула включения и исключения
1.1.4. Сравнение множеств
Определение. Говорят, что множество A содержится во множестве B (А – подмножество B, А включено в B, В содержит/включает A), если всякий элемент множества A принадлежит и множеству В. В этом случае пишут: . Таким образом,
Можно сказать иначе: если , то .
Одновременно верно и такое утверждение: если и , то , ведь в противном случае обязан принадлежать . Значит, можно записать: если , то .
Определение. Говорят, что множество A есть собственное подмножество множества B (В строго включает А) и пишут A В, если и В А.
Таким образом, A В и
Определение. Если (A В), то множества А и В называются сравнимыми между собой.
Ясно, что
A для всякого множества A;
Если и , то ; ( и , то ).
Исходя из определения подмножества, опишем необходимые и достаточные условия того, что множество А не является подмножеством множества В (обозначение: А В).
Именно, АВ Во множестве А должен существовать хотя бы один элемент, не принадлежащий множеству В.
Утверждение. для всякого множества А.
Доказательство. Пусть . Тогда . Но данное условие противоречиво, пустое множество не содержит элементов.
Пример. Пусть В = {1, {2}, {1}, {2, 3}, {1, 3}} и А1 = {1, 2};
А2 = {1, {1}}; А3 = {2, 3}; А4 = {{2, 3}}; А5 = {1, {2, 3}, {1, 3}};
А6 = {1, }; А7 = {{2}, {2, 3}, {1, 2, 3}}; А8 = .
Тогда А1 В (2 В); А2 В; А3 В (2 В и 3 В); А4 В; А5 В; А6 В ( В); А7 В ({1, 2, 3} В); А8 В.
Определение. Булеаном множества А (обозначается 2А) называется семейство всех подмножеств данного множества А.
Значит, 2А={B|B A}. В частности, и
Примеры булеанов.
Пусть . Тогда .
Пусть . Тогда .
Пусть А = . Тогда 2А = {}.
Определение. Мощностью конечного множества А (обозначение: ) называют число его элементов.
Пример. || = 0; |{}| = |{x}| = 1; |{1, {1}, 2, {1, 2}}| = 4; |{{1, 2, 3, 4, 5}, }| = 2.
Утверждение. Если , то .
Доказательство. Число подмножеств множества А, содержащих k элементов, равно числу способов отобрать из n элементов множества А k элементов, образующих данное подмножество, т. е. равно . Отсюда
1.2.1. Операции над множествами
Определение 1. Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих двух множеств.
Еще будем писать так: .
В устной или письменной речи операцию объединения описывают союзом или.
Непосредственно из определения операции объединения следует справедливость и такого утверждения: если , то элемент принадлежит объединению множества со всяким другим множеством . Будем писать: .
Что же означает условие ? Из определения операции объединения следует, что если , этот элемент не может входить ни в одно из данных двух множеств, то есть
Пример. Пусть . Тогда
Пусть . Тогда
Определение. Пересечением (или , или АВ) двух множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат обоим множествам.
По-другому: .
Но если , он не принадлежит и пересечению с любым другим множеством. Будем писать: .
В устной или письменной речи операции пересечения соответствует союз и.
Таким образом, чтобы элемент не принадлежал пересечению , необходимо и достаточно, чтобы он не принадлежал хотя бы одному из двух множеств, т.е.
Пример. , . Тогда
, . Тогда
Определение. Два множества называются непересекающимися, если АВ= .
Определение. Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.
Иная запись: .
Из этого определения следует, что тогда и только тогда, когда или . Итак, .
Пример. , . Тогда
, . Тогда ,
Итак, если , то так как во множестве А нет ни одного элемента, который не ходил бы в множество В. Обратно, если , так как каждый элемент множества А принадлежит и В.
Определение. Симметрической разностью А В (или АВ) множеств А и В называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат ровно одному из данных множеств
Или так: .
Но тогда .
Пример. Тогда
, . Тогда
Таким образом,
Определение. Дополнением множества А до универсума U называют множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.
Иная запись: .
В устной речи операции дополнения соответствует частица не.
Пример. , . Тогда
Таким образом,
Утверждение.
Доказательство. Докажем, что множества и состоят из одних и тех же элементов. Используя понятие подмножества, можно сказать, что А = В А В и В А (множества А и В состоят из одних и тех же элементов).
а. Пусть
б. Пусть