1.2.2. Диаграммы Венна

На диаграммах Венна универсум изображается прямоугольником или квадратом, а множества – областями внутри универсума. Точки – это элементы универсума. Проиллюстрируем диаграммами Венна введенные определения (рис.1).

Рис. 1.

1.2.3. Свойства операций над множествами

Пусть Каковы бы ни были заданные подмножества универсума U, справедливы соотношения

1. Идемпотентность.

2. Коммутативность.

3. Ассоциативность.

1. Дистрибутивность.

2. Законы поглощения.

3. Свойства нуля.

4. Свойства единицы.

5. Инволютивность.

6. Законы де Моргана.

10. Свойства дополнения.

Доказательство этих равенств большей частью совершенно элементарно.

Пример. Утверждение. .

Доказательство.

, .

Законы коммутативности и ассоциативности легко распространяются на случай объединения (пересечения) любого конечного числа множеств. Именно, в какой бы последовательности не объединялись (пересекались) данные множества , в результате получится одно и тоже множество, которое обозначается . Объединение состоит из тех и только тех элементов, которые входят хотя бы в одно из данных множеств (пересечение содержит те и только те элементы, которые входят во все множества одновременно).

Запишем обобщение законов дистрибутивности и де Моргана

Пример. Из 100 студентов английский язык знают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все языки знают 3 человека. Сколько человек не знают ни одного языка? Сколько человек знают в точности два языка? Сколько человек знают английский или французский языки, но не знают немецкий?

Решение. Построим диаграмму Венна (рис. 4.). Универсум U – это множество всех студентов, A₁  множество студентов, знающих английский язык; A₂  множество студентов, знающих немецкий язык; A₃  множество студентов, знающих французский язык. Области в общем случае разбивают прямоугольник универсума на 8 областей. Внутри каждой области записано число элементов, лежащих в этой области (мощность соответствующего множества). Известно, что

Нужно найти , , .

Рис. 4

; ; .

Формула включения и исключения

Формула включения и исключения – это формула для нахождения числа элементов объединения нескольких конечных множеств. Выведем формулу для объединения двух множеств. Пусть Тогда (см. диаграмму Венна на рис.1).

Рис. 1

Также нетрудно получить формулу для мощности объединения трех множеств

Пример. Вернемся к примеру 4.

Из 100 студентов английский язык знают 28 человек, немецкий – 30, французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, все языки знают 3 человека. Сколько человек не знают ни одного языка?

Решение. Пусть универсум U – это множество всех студентов,

A₁  множество студентов, знающих английский язык;

A₂  множество студентов, знающих немецкий язык;

A₃  множество студентов, знающих французский язык.

Тогда

Нужно найти