Фильтр Тихонова. Невязка
Для выбора способа и параметров регуляризации крайне важно наличие априорной информации. В том случае, когда о поведении решения нам ничего не известно, в качестве такой априорной информации можно использовать сведения о точности исходных данных. При этом под точностью исходных данных необходимо понимать как точность измерения, так и уровень шумов на выходе системы. Эти данные практически всегда имеются
Обратный оператор, построенный с использованием такой априорной информации, называется фильтром Тихонова. Как строится такой обратный оператор или, по-другому, как выбирается стабилизирующий коэффициент для этого обратного оператора?
Определение этого коэффициента основано
на следующем. Воздействуем приближённым
оператором
на исходные данные
.
В результате получим приближённое
решение
.
Если бы было известно точное решение
,
то сравнив его с приближённым решением
мы могли бы судить о качестве приближённого
оператора. Однако точное решение
неизвестно
и поэтому необходим некий косвенный
метод оценки.
Воздействуем на полученное приближённое
решение
точным прямым оператором L[ ]. Получим
некоторую функцию
.
Эта функция по смыслу аналогична исходным
данным. В том случае, когда шум в исходных
данных отсутствует, приближённый
оператор
совпадает с точным обратным оператором,
а функция
совпадает
с исходными данными
.
Таким образом различие между этими
функциями можно использовать для оценки
качества приближённого оператора.
Введём функцию
.
и назовём её невязкой. Очевидно, что невязка равна нулю, если приближённый оператор равен точному оператору.
Пусть дисперсия шума в исходных данных равна 2. Тогда логично потребовать, что бы дисперсия ошибки, вызванной применением приближённого оператора, также была равна 2 . То есть
.
Из этого уравнения можно определить величину .
Это условие выбрано из следующих соображений. Если потребовать, чтобы Ф()=0, то оператор будет являться точным обратным оператором, а =0, и мы получим неустойчивое решение. Если допустить, что Ф() много больше 2 то ошибка, связанная с неточностью решения будет больше ошибки вызванной шумом. Поэтому применяют компромиссное решение, которое предполагает равный вклад ошибок в получаемое решение.
Для того чтобы функцию Ф(), т.е. невязку, можно было использовать для определения оптимального значения необходимо доказать, что уравнение Ф() = 2 имеет однозначное решение. В противном случае для одного и того же значения 2 может быть несколько значений и встанет задача о выборе оптимального значения из них.
Для того, чтобы доказать единственность решения этого уравнения достаточно доказать, что Ф() есть монотонно возрастающая функция .
Используя тот факт, что энергия функции равна энергии ее спектральных составляющих запишем:
.
Так как
то
.
Первая производная
Так как и и подынтегральное выражение всегда больше 0, то
Таким образом мы показали, что Ф() монотонно возрастающая функция и в силу этого решения уравнения Ф() = 2 имеет единственное решение.
На практике часто значение определяют следующим образом. Задают ряд значений k, для каждого из них рассчитывают Ф(k) и в качестве рабочего значения принимают то, для которого разность Ф(k) - 2 – минимальна.