Решение уравнения типа свёртки. Частотная характеристика
Запишем уравнение Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
Очевидно, что по форме записи это
уравнение является свёрткой функций
и
.
Применим к этому уравнению теорему о
свёртке и запишем
где
,
и
спектры,
соответственно, функций
,
и
.
В уравнении (10.1) неизвестной функцией является функция . Из уравнения (10.2) легко определяется спектр этой функции
.
Выполнив обратное преобразование Фурье, найдём решение
.
Функция
в
теории линейных систем называется
частотной характеристикой. Частотная
характеристика и импульсный отклик
связаны между собой преобразованием
Фурье. Т.е.
.
И в свою очередь
Последнее выражение даёт способ экспериментального определения импульсного отклика той или иной реально существующей линейной системы.
По определению импульсный отклик это реакция системы на входное воздействие в виде дельта-функции. Следуя этому определению для оценки импульсного отклика системы необходимо на её вход подать очень короткий импульс высокого напряжения или тока и измерить зависимость выходного сигнала от времени. Причём, для сохранения энергии импульса с уменьшением его длительности необходимо увеличивать величину напряжения или тока.
При этом возникают две проблемы. Первая, на практике можно сформировать импульс только конечной длительности, в то время как теоретически необходимо устремить длительность импульса к нулю. Вторая проблема заключается в том, что при высоком уровне входного сигнала, а он необходим для сохранения энергии импульса, входные цепи исследуемой системы могут быть просто разрушены.
Другой способ определения импульсного отклика основан на измерении частотной характеристики линейной системы и последующем расчёте с использованием выражения . Для измерения частотной характеристики необходимо на вход исследуемой системы подать гармоническое колебание и определить зависимость амплитуды сигнала на выходе системы от частоты входного сигнала.
Этот способ тоже не лишён недостатков, однако его реализация значительно проще, чем первого. Кроме этого этот способ применим только к системам инвариантным к сдвигу – т.е. к системам, которые описываются уравнением Фредгольма 1-го рода с разностным ядром.
Обратная задача называется корректно поставленной, если выполняются следующие условия.
Корректность решения обратной задачи. Существования решения
- Существует решение задачи.
- Решение является единственным.
- Решение является устойчивым.
В общем случае ни одно из этих условий для обратных задач не выполняется.
Начнем с первого условия, т.е. покажем, что в общем случае решение обратной задачи не существует. При этом надо понимать, что под решением подразумевается точное решение.
В общем случае входное воздействие
и
отклик линейной системы
связаны между собой уравнением Фредгольма.
Пусть импульсный отклик системы
представляет собой гладкую функцию по
переменной
,
а функция
,
где
- точные исходные данные, а
- шум.
В общем случае функция
не
является гладкой, так как шум
является
случайной функцией. Таким образом, если
вернуться к уравнению мы имеем в левой
части разрывную функцию переменной
,
а в правой части гладкую функцию этой
же переменной. Так как функция
,
входящая в подынтегральное выражение,
от переменной
не зависит, то изменить это соотношение
путем выбора решения
не возможно. Т.е. точного решения задачи
в общем случае не существует.