1.2 Праекцыя сілы на плоскасць

Праекцыя сілы на плоскасць — вектар, які знаходзіцца паміж праекцыямі пачатку і канца вектара сілы на гэтую плоскасць.

Звяртаем увагу на прынцыповае адрозненне праекцый сілы на вось і на плоскасць: першая — алгебраічная велічыня, другая — вектарная. Кіруючыся прыведзеным азначэннем, знойдзем праекцыю сілы на каардынатную плоскасць (рыс. 1.5).

Рысунак 1.5

Для гэтага з пачатку вектара і канца апускаем перпендыкуляры на плоскасць і знаходзім праекцыі , . Затым злучаем іх і будуем праекцыю сілы : . Яе велічыню знаходзім па формуле

,

дзе — вугал, утвораны вектарам з плоскасцю (ці з яго праекцыяй ).

Праекцыя сілы на плоскасць патрэбна ў асноўным для таго, каб затым праз яе знаходзіць праекцыі сілы на восі і яе моманты адносна восей. Выкарыстаем вектар для вызначэння праекцый , сілы на восі каардынат. З пачатку і канца вектара праводзім перпендыкуляры да восей , — знаходзім на іх праекцыі пачатку і канца сілы F. Злучаем іх і атрымліваем: , . Каб знайсці значэнні , , абазначым на рысунку 1.5 вугал паміж вектарам і воссю праз . Тады атрымаем

,

альбо

, .

Такім чынам, можна сфармуляваць наступнае правіла ў два дзеянні: каб вызначыць праекцыю сілы на вось, якая не ляжыць у адной плоскасці з вектарам сілы, неабходна спачатку знайсці праекцыю гэтай сілы на тую плоскасць , у якой знаходзіцца вось, а затым атрымаць праекцыю вектара на вось.

На рысунку 1.5 праекцыя .

Прыклад

Знайсці праекцыі сілы , прыкладзенай у пункце , на плоскасць і на восі , (рыс. 1.6, а). Дадзена: , , , // .

а) б)

Рысунак 1.6

Рашэнне

Знаходзім праекцыю F_yz (рыс. 1.6, б). Пачатак вектара знаходзіцца ў плоскасці ; праводзім перпендыкуляр з яго канца на гэтую плоскасць (ён паралельны да восі ). Злучаем пункты і ; атрымліваем вектар . Яго модуль роўны . Вызначаем праекцыі , , як паказана на рысунку 1.6, б. Атрымліваем

; .

Тут

;

; .

1.3 Момант сілы адносна цэнтра

Пад цэнтрам разумеюць любы пункт, узяты на матэрыяльным аб’екце альбо ў прасторы. . Неабходнасць у вызначэнні моманта сілы адносна цэнтра ўзнікае пры вывучэнні раўнавагі плоскай сістэмы сіл.

Момант сілы адносна цэнтра (рыс. 1.7) — алгебраічная велічыня, роўная здабытку сілы на яе плячо адносна цэнтра :

. (1.2)

Момант сілы характарызуе велічыню яе вярчальнага ўздзеяння на цела.

Рысунак 1.7

Плячо сілы адносна цэнтра роўна карацейшай адлегласці ад цэнтра да лініі дзеяння сілы. Знак «плюс» у формуле (1.2) прымаецца ў тым выпадку, калі сіла імкнецца вярцець матэрыяльны аб’ект (МА) вакол цэнтра супраць ходу стрэлкі гадзінніка.

У адваротным выпадку яе момант адмоўны. Момант сілы на рысунку 1.7 дадатны.

Прыклад 1

Знайсці момант сілы адносна цэнтра (рыс. 1.8). Дадзена: , , .

Рысунак 1.8

Рашэнне

Праводзім з цэнтра перпендыкуляр да лініі дзеяння сілы. Як відаць з рысунка, плячо

.

Па формуле (1.2) знаходзім . Знак «мінус» прыняты таму, што сіла імкнецца павярнуць стрыжань вакол пункта за ходам стрэлкі гадзінніка.

Момант сілы можна ўмоўна прадставіць вектарам , перпендыкулярным да плоскасці , што ўтворана лініей дзеяння сілы і цэнтрам (рыс. 1.9).

Рысунак 1.9

Матэматычна гэты вектар вызначаецца як вектарны здабытак па формуле

, (1.3)

дзе — радыус-вектар пункта прылажэння сілы .

Формула(1.3) вызначае як напрамак вектара , так і яго модуль. Нагадаем правіла вектарнага здабытку: вектар праводзіцца перпендыкулярна да плоскасці , утворанай вектарамі і у той бок, адкуль карацейшы паварот першага ў формуле (1.3) вектара да палажэння, паралельнага другому вектару , відаць супраць ходу стрэлкі гадзінніка.

Гэта правіла будзе прымяняцца далей ва ўсім курсе тэарэтычнай механікі і ў значнай ступені вызначыць поспехі ў вывучэнні дысцыпліны. Таму на самым пачатку яго трэба цверда засвоіць. Звернемся зноў да рысунка 1.9. Каб вектар заняў палажэнне , паралельнае да вектара , яго трэба павярнуць карацейшым шляхам, як паказана на рысунку дугавой стрэлкай. Гэты паварот убачым супраць ходу стрэлкі, калі будзем глядзець на плоскасць зверху. Таму вектар трэба накіраваць уверх.

Модуль вектара (1.3) знаходзіцца па формуле . Тут здабытак можна замяніць адрэзкам , праведзеным з цэнтра перпендыкулярна да вектара (гл. рыс. 1.9). Тады атрымаем . Такім чынам, мы прыйшлі да той жа формулы (1.3).

Увядзем адвольную прамавугольную сістэму восей каардынат з пачаткам у цэнтры (на рысунку 1.9 яна не паказана). Гарызантальную плоскасць сумясцім з плоскасцю . Вось супадае з вектарам . Орты восей, як заўжды, будзем абазначаць літарамі , , . Раскладзем вектар па восях гэтай сістэмы:

.

Інакш вектар можна прадставіць у выглядзе

.

Прыраўняем у апошніх формулах выражэнні пры орце . Знойдзем

. (1.4)

Атрыманая формула, як і формула (1.2), можа выкарыстоўвацца для вызначэння моманту сілы. У некаторых выпадках яна больш эфектыўная. Формула (1.4) зручная для складання алгарытма вылічэнняў на камп’ютэры. Нагадаем прынятыя у ёй абазначэнні: — каардынаты пункта прылажэння сілы , Х, Y — праекцыі вектара сілы .

Прыклад 2

Знайсці момант сілы адносна цэнтра (рыс. 1.10). Дадзена: , , , .

Рысунак 1.10

Рашэнне

Каб прымяніць формулу (1.2), трэба правесці перпендыкуляр з пункта А да лініі дзеяння сілы і знайсці плячо . Гэта можа заняць шмат часу. Скарыстаемся формулай (1.4). Уводзім прамавугольную сістэму каардынат . Знаходзім каардынаты пункта і праекцыі сілы на восі А_х, А_у.

Для вызначэння праекцый адзначым на рысунку патрэбны вугал . Атрымліваем , , , .

Па формуле (1.4) вызначаем

.

Велічыня, што ў квадратных дужках перад сілай F, уяўляе сабой плячо сілы .