1.4 Момант сілы адносна восі
Момант сілы адносна восі (рыс.1.11) — момант праекцыі гэтай сілы на плоскасць , перпендыкулярную да восі, адносна пункта перасячэння восі з плоскасцю:
. (1.5)
Рысунак 1.11
Знак «плюс» у формуле (1.5) прымаецца, калі з дадатнага напрамку восі відаць, што сіла імкнецца вярцець плоскасць адносна пункта супраць стрэлкі гадзінніка. Моманты сіл адносна восей вызначаюцца пры вывучэнні раўнавагі прасторавай сістэмы сіл.
Пад
воссю
у праведзеным азначэнні разумеецца
адвольная вось у прасторы; яна можа
быць, як і цэнтр
,
абазначана любымі іншымі літарамі.
Паслядоўнасць дзеянняў пры вызначэнні
моманта
наступная:
Будуем плоскасць , перпендыкулярную да восі
.Знаходзім праекцыю сілы на плоскасць :
.Знаходзім пункт перасячэння восі з плоскасцю .
Знаходзім плячо сілы адносна цэнтра .
Вылічваем велічыню моманта сілы адносна восі па формуле (1.5).
Устанаўліваем знак моманта. На рысунку 1.11 момант сілы дадатны.
Прыклад 1
Да
гарызантальнай прамавугольнай пласціны
са сторанамі
і
пад вуглом
прыкладзена сіла
(рыс. 1.12, а).
Вызначыць моманты сілы адносна восей
каардынат.
а) б)
Рысунак 1.12
Рашэнне
Будзем выкарыстоўваць апісаную вышэй методыку.
Вызначэнне моманту
.
Плоскасцю,
перпендыкулярнай да восі
з’яўляецца каардынатная плоскасць
.
Праекцыя сілы
на гэту плоскасць (рыс. 1.12, б)
роўна
.
Пункт перасячэння восі
з плоскасцю
супадае з пачаткам кардынат
.
Праводзім перпендыкуляр з цэнтра
на вектар
;
знаходзім плячо сілы
адносна восі
:
.
Па формуле (1.5) маем
.
Гэты момант дадатны, таму што з канца
восі
накірунак сілы
адносна цэнтра
бачым процілеглы руху гадзіннікавай
стрэлкі.
Вызначэнне моманту
.
Знаходзім
плоскасць, перпендыкулярную да восі
.
Можна выкарыстаць каардынатную плоскасць
.
Але тут прасцей скарыстаць паралельную
да
плоскасць трохвугольніка
,
у якім знаходзіцца вектар
.
Яго праекцыя на гэту плоскасць роўна
самому вектару:
.
Пунктам перасячэння плоскасці
трохвугольніка
з воссю
з’яўляецца пункт
.
Праводзім перпендыкуляр з цэнтра
на лінію дзеяння сілы
;
знаходзім
.
Па формуле (1.5) атрымліваем
.
Калі глядзець на сілу
з дадатнага напрамку восі
,
то ўбачым, што яна здольна вярцець
стрэлку, замацаваную ў цэнтры
,
так, як яна рухаецца ў гадзінніку; таму
момант сілы адмоўны. Заўважым, што тут
момант сілы
можна вызначыць,
не знаходзячы пляча
.
Для гэтага патрэбна выкарыстаць тэарэму
Варыньёна, якая сцвярджае, што момант
раўнадзейнай сілы роўны суме момантаў
складаемых сіл. У гэтым прыкладзе
раўнадзейнай будзе сіла
,
а яе складаемыя — сілы
і
.
Тады
.
3. Вызначэнне моманту .
Да
восі
перпендыкулярна плоскасць пласціны
.
Праекцыя сілы
на гэту плоскасць
.
Вось Oz
перасякаецца
з
плоскасцю у пункце
. Плячо сілы
адносна цэнтра
.
Па формуле (1.5) знаходзім
.
Момант дадатны.
Прыклад 2
Вертыкальная
прамавугольная пласціна
утварае
з плоскасцю
двухгранны вугал
.
Да яе ў пункце
пад вуглом
прыкладзена сіла
(рыс. 1.13, а).
Дадзена:
,
.
Знайсці моманты сілы адносна восей
каардынат.
а) б)
Рысунак 1.13
Рашэнне
Непасрэднае
прымяненне формулы (1.5) для вызначэння
момантаў
,
тут не рацыянальна, таму што ўзнікаюць
цяжкасці пры вызначэнні праекцый сілы
на плоскасці
,
.
Момант
знаходзіцца элементарна: паколькі лінія
дзеяння сілы
перасякае вось
(у пункце
),
то
.
Астатнія моманты знойдзем двума іншымі спосабамі.
Першы спосаб. Раскладаем сілу на тры складаемыя, паралельныя да восей каардынат (рыс. 1.13, б):
;
;
.
Затым па формуле (1.5) знаходзім моманты адносна восей ад кожнага складаемага асобна, улічваючы, што іх моманты адносна паралельных да іх восей роўны нулю:
,
,
;
Канчаткова
;
.
Другі спосаб. Зададзім палажэнне пункта , дзе прыкладзена сіла , адносна пункта радыус-вектарам , а затым прадставім момант сілы у вектарнай форме, як гэта было зроблена ў п. 1.3. Праекцыі атрыманага вектара на восі каардынат роўны момантам сілы адносна восей:
.
(1.6)
З другога боку
.
(1.7)
Параўноўваючы выражэнні (1.6) і (1.7), знаходзім
.
(1.8)
Пры
рашэнні задач формулы (1.8) звычайна
выкарыстоўваюцца без вывада. Прыменім
іх для нашага прыклада. З рысунка 1.13, б
знаходзім
каардынаты пункта
:
,
,
.
Вызначаем праекцыі сілы на восі каардынат:
;
;
.
Як
бачым, па велічыні яны роўны складаемым
,
,
вектара
.
Па формулах (1.8) знаходзім
;
;
Канчаткова атрымліваем
;
;
.
Спосаб, заснаваны на формулах (1.8), універсальны, і, як ужо адзначалася, дазваляе складаць праграмы вылічэнняў на камп’ютэры.