1.3. Пример расчета переходного процесса цепи I порядка, содержащей емкость

В схеме с источником постоянной ЭДС, изображенной на рис. 1, происходит замыкание ключа К. Требуется определить закон изменения тока во время переходного процесса.

Рис. 1

1.3.1. Составление системы уравнений для переходного режима

Для расчета переходного процесса в схеме, изображенной на рис. 1, составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений в послекоммутационный период (при замкнутом ключе К):

(3)

1.3.2. Определение независимых начальных условий

В соответствии со вторым законом коммутации может быть найдено в результате решения системы уравнений (3) для докоммутационного режима (при разомкнутом ключе К):

(4)

1.3.3. Определение принужденной составляющей тока

Принужденная составляющая тока может быть найдена в результате решения системы уравнений (1) для установившегося послекоммутационного режима ( ). Так как данная цепь является цепью постоянного тока, то

, тогда

(5)

На рис. 2 приведена схема электрической цепи в принужденном режиме.

r₁

r₂

i_1пр

E

r₃

К

С

i_2пр

i_3пр

Рис. 2

1.3.4. Определение корня характеристического уравнения.

Общее решение для переходного тока

Характеристическое уравнение цепи можно получить путем алгебраизирования системы однородных (с нулевой правой частью) дифференциальных уравненний, соответствующих (3).

Для цепи I порядка с емкостным сопротивлением система полученных алгебраизированных уравнений сводится к характеристическому уравнению:

, (6)

где - входное активное сопротивление всей цепи относительно зажимов емкости С в послекоммутационном режиме;

- корень характеристического уравнения, который находится из (6):

(7)

Для данной схемы:

(8)

Общее решение для переходного тока в соответствии с (1), (2), (7), (8) будет иметь вид:

(9)

1.3.5. Определение постоянной интегрирования

Уравнение для определения постоянной интегрирования может быть получено из (9) для момента времени

(10)

Ниже определяются численные значения . Согласно определенному в (4) независимому начальному условию и второму закону коммутации получаем схему на (рис.3).

Рис. 3

Из схемы рис.3 любым методом расчета цепей постоянного тока определяется зависимое начальное условие . Входной ток вычислим путем свертки пассивных элементов цепи:

,

для контура acbf : , тогда

(11).

Далее по (10) вычисляется постоянная интегрирования и записывается итоговое решение (9). Расчет переходного процесса целесообразно завершить построением зависимостей токов и напряжений от времени.