§1.3. Диференціювання неявно заданих функцій. Логарифмічне диференціювання

Нехай функція у від х задана неявно, тобто у вигляді рівності . Розглянемо метод диференціювання вказаної функції на конкретному прикладі.

Приклад 1. Функція у від х задана виразом Знайти похідну .

Розв’язання. Здиференціюємо задану рівність, враховуючи те, що у є функцією від х:

.

Отриманий вираз розглядаємо як рівняння відносно похідної (воно завжди лінійне). Розв’язуємо рівняння:

Розглянемо показниково-степеневу функцію , де u і v – функції від х. Похідна у цьому випадку визначається за допомогою методу логарифмічного диференціювання. Суть вказаного методу полягає у тому, що спочатку логарифмуємо рівність , а потім знаходимо похідну за правилами диференціювання неявної функції.

Приклад 2. Знайти похідну функції

Розв’язання.: Логарифмуємо задану рівність і робимо очевидні перетворення (використано властивість логарифму ):

, .

Диференціюємо останню рівність за правилами диференціювання неявної функції:

,

,

,

.

За допомогою вказаного методу для показниково-степеневоі функції легко отримати наступну формулу:

(3.1)

Формула (3.1) легко запам’ятовується. Перший доданок її правої частини – це похідна функції при умові, що основа u є сталою величиною (використовується таблична похідна для показникової функції ); другий доданок – це похідна функції при умові, що показник v є сталою величиною (використовується таблична похідна для степеневої функції ).

Приклад 3. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Користуючись формулою (3.1), знайдемо

.

§1.4. Диференціал функції. Наближені обчислення за допомогою диференціала

Якщо функція диференційована в точці х, то її приріст у цій точці можна представити у вигляді

, (4.1)

де – приріст аргументу у точці х; при . Добуток є головною частиною приросту функції (другий доданок є нескінченно малою величиною більш високого порядку малості при ). Він називається диференціалом функції в точці х і позначається символом або . Отже,

. (4.2)

Приріст незалежної змінної х співпадає з її диференціалом dx тобто . Означення (4.2) може бути записане у вигляді

(4.3)

Всі основні властивості диференціала співпадають з властивостями похідної. Наприклад для диференціала суми і добутку справедливі формули

.

Приклад 1. Знайти диференціал функції .

Розв’язання. На основі формули (4.3) маємо

.

Як бачимо знаходження диференціала dy по суті зводиться до знаходження похідної .

Нехай функція , диференційована на інтервалі (a,b) і нехай – внутрішня точка цього інтервалу. Припустимо, що незалежна змінна х отримала приріст в точці , причому нова точка також належить інтервалу (a,b). Як відомо приріст і диференціал функції визначаються наступним чином

, .

Користуючись наближеною рівністю , дістаємо

або

(4.4)

Формула (4.4) застосовується для наближених обчислень значення функції.

Приклад 2. Задана функція . Обчислити наближено за допомогою диференціала значення цієї функції в точці .

Розв’язання. Значення підбираємо таким чином, щоб воно було близьким до заданого значення х і щоб сама функція і її похідна легко обчислювалися у цій точці. У більшості випадків є найближчим цілим числом до заданого х. Нехай . Тоді:

, ;

; .

Підставивши знайдені значення у формулу (4.4), отримуємо:

.