Пример выполнения контрольной работы
Задача 1. Дана система линейных алгебраических уравнений: Требуется:
решить СЛАУ по формулам Крамера;
записать СЛАУ в матричной форме и решить ее матричным способом, при этом правильность вычисления обратной матрицы проверить, используя определение ее.
Решение. 1) По формулам Крамера где
Находим решение системы
2) Для нахождения решения СЛАУ с помощью обратной матрицы запишем систему уравнений в матричной форме AX=B, где
, , .
Решение СЛАУ в матричной форме имеет вид , где - матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле
, где , - алгебраическое дополнение к элементу .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратная матрица имеет вид: .
Проверим правильность нахождения обратной матрицы:
Находим решение системы.
Итак, решение системы: .
Задача 2. Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений
Решение. Запишем СЛАУ в матричной форме AX=B, где
, , .
При помощи элементарных преобразований приведем расширенную матрицу СЛАУ к трапециевидной форме.
Поменяем местами первую и вторую строки матрицы
.
Умножим первую строку на -3 и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на -4 и прибавим к третьей строке
.
Сложим вторую и третью строки
.
Полученная матрица является трапециевидной, содержит две ненулевые строки, поэтому .
Так как ранг матриц меньше числа неизвестных, то СЛАУ имеет бесконечное множество решений.
,то этот минор является базисным.
Переменные и возьмем в качестве базисных, а переменная будет свободной. Выразим переменные и через .
По последней матрице запишем систему уравнений, эквивалентную данной
Следовательно, ,
.
Итак, решения СЛАУ: ; она совместная и неопределенная.
Задача 3. Даны векторы . Доказать, что векторы и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение. Если два вектора не коллинеарны ( ), то они образуют базис на плоскости.
Так как , то векторы и не коллинеарны и, значит, образуют базис. Пусть в этом базисе вектор имеет координаты , тогда разложение вектора по векторам и имеет вид: или в координатной форме:
Решим полученную систему уравнений по формулам Крамера.
Значит
Итак, в базисе , вектор имеет координаты
Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды Найти:
длину ребра ;
угол между ребрами и ;
уравнение плоскости ;
угол между ребром и гранью ;
площадь грани ;
объем пирамиды;
уравнение прямой ;
уравнение высоты , опущенной из вершины на плоскость ;
длину высоты, опущенной на грань .
Решение.
Расстояние между двумя точками и вычисляют по формуле:
2) Угол φ между векторами и находят по формуле:
Найдем координаты векторов и :
Тогда
3) Составим уравнение плоскости по формуле:
, где
- точки данной плоскости.
В нашем случае для плоскости имеем:
- уравнение плоскости .
4) Угол α между прямой и плоскостью находят по формуле:
, где - нормальный вектор плоскости.
Из уравнения плоскости .
5)
6) , где - смешанное произведение векторов .
7) Канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору имеют вид:
В нашем случае . Тогда - канонические уравнения прямой .
8) Направляющим вектором прямой является нормальный вектор плоскости . Тогда - уравнения прямой .
9) Длину высоты, опущенной на грань , можно вычислить как расстояние от точки до плоскости . Для этого воспользуемся формулой
, где - уравнение данной плоскости, - координаты данной точки.
В нашем случае - уравнение плоскости (см. пункт 3) и
Итак,
Задача 5. Упростить уравнение линии второго порядка , определить вид линии, построить ее.
Решение. Выделим полные квадраты по х и по у, получим: ,
,
, (см. ),
т.е. имеем эллипс, центр которого лежит в точке С(5;-1), большая полуось а=4, малая полуось b=3.
Строим линию
Задача 6. Найти пределы:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Решение. а)
б)
в)
г)
д)
Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию и построить ее график:
Решение. Область определения функции – вся числовая прямая. На интервалах (-, 0),
(0, 2), (2, +) функция непрерывна, так как задана на них элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и , переходя через них изменяется аналитическое задание функции.
Рассмотрим точку , Найдем односторонние пределы в точке .
точка разрыва первого рода ( конечные).
Рассмотрим точку , .
в точке функция непрерывна.(см. определение непрерывности функции в точке )
Строим график данной функции:
Задача 8. Дано комплексное число . Требуется:
записать число z в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
найти корни уравнения 3-z=0.
.
Решение. 1) .
Итак, - алгебраическая форма комплексного числа ( ).
Тригонометрическая форма имеет вид:
, где , угол φ определяют из системы
Находим
Значит .
Итак, - тригонометрическая форма комплексного числа.
Показательная форма имеет вид: .
Тогда - показательная форма комплексного числа.
2) Надо решить уравнение 3-z=0, откуда .
.
Воспользуемся формулой , где .
, k=0, 1, 2.
k=0: ;
k=1: ;
k=2: