7. Интегралы от функций, зависящих рационально от синуса и косинуса
Обозначают такие
интегралы
.
Такая запись означает, что для нахождения
значения подынтегральной функции над
её аргументами (у нас это sinx
и cosx)
производятся только арифметические
операции. Для рационализации таких
интегралов применяют подстановки. Одна
из них называется универсальная
подстановка.
Для её выполнения выбирают новую
переменную вида
.
При её выполнении используют выражения
.
Например:
Иногда имеет смысл использовать другие подстановки. Это удаётся тогда, когда подынтегральная функция R(sinx,cosx) обладает дополнительными свойствами. Например, нечётностью по одному из аргументов. Так, если R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx), то рационализация получается с помощью подстановки z=sinx. А если у подынтегральной функции есть свойство R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx), то поможет выбор новой переменной z=cosx .В случае, если наблюдается свойство R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx), можно применить подстановку z-tgx.
Например:
Индивидуальные задания по теме «Неопределённый интеграл»
Вариант 1
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 2
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 3
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 7
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 8
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 9
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 10
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 11
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 12
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 13
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 14
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 15
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 16
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 17
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 18
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 19
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 20
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 21
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 22
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 23
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 24
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 25
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 26
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 27
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 28
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 29
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 30
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 31
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
