1. В урне два красных и два синих шара. Вынимается три шара. Описать множество элементарных исходов  и подмножество A ={хотя бы один шар красный}.

2. Подбрасывается три игральные кости. Найти вероятность того, что на всех костях выпадает одно и тоже число очков.

3. На отрезок [ 0, 6 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что одна из них находится от левого конца отрезка на расстоянии меньшем h₁ = 1, а другая от правого конца отрезка на расстоянии меньшем h₂ = 2. Сделать чертёж.

4. В урне 20 шаров, среди которых 12 белых и 8 чёрных. Наудачу извлекают 6 шаров. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 4 шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. Из колоды в 36 игральных карт случайным образом вынимаются две. Какова вероятность, что вынутыми окажутся «туз» и «десятка»?

6. Внутрь круга радиуса R брошены наугад две точки. Найти вероятность того, что они обе окажутся внутри правильного шестиугольника, вписанного в этот круг.

7. Вероятность поражения цели при одном выстреле 1-м стрелком равна 0,6, а для 2-го равна 0,8. Первый сделал 2 выстрела, а второй 3 выстрела. Определить вероятность того, что цель не будет поражена.

8. В телеателье имеются 4 кинескопа. Вероятности того, что кинескопы выдержат гарантийный срок службы, соответственно равны 0,8; 0,9; 0,7; 0,8. Найти вероятность того, что взятый наугад кинескоп выдержит гарантийный срок службы.

9. Найти вероятность обнаружить хотя бы одну бракованную деталь в отобранной наугад для контроля партии из N деталей, если брак составляет на производстве 10%.

10. С какой вероятностью, бросая 360 раз пару игральных костей, можно ожидать выпадения 12 очков в пределах от 6 до 17 раз?

11. Игральную кость бросили 3 раза. Случайная величина X – число выпадений двух очков. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

12. В ящике 2 шара с одинаковыми номерами 1, и два шара с номерами 2 и 3. Случайная величина X – сумма номеров у 2-х случайно вынутых шаров. Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет плотность распределения

.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию распределения F(x); 3) P(X > 1,5); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения и плотность распределения для случайной величины Y = 5 – X.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = 5 и дисперсия D(X) = . Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [0, 6]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (0  X  6).

15. Монета бросается 2 раза. Случайные величины: X – число появлений «герба»; Y – число одинаковых результатов («герб» – «герб», либо «цифра» – «цифра»).

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y); в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).

Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 8

1. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трёх блоков второго типа. События: A_k ={исправен k–й блок первого типа, (k = 1, 2)}, B_i ={исправен i–й блок второго типа, (i = 1, 2, 3)}. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго типа. Выразить событие C, означающее работу прибора, через A_k и B_i.

2. Найти вероятность того, что наугад взятое пятизначное число оканчивается на две разные цифры.

3. На отрезок [ 0, 3 ] случайно бросаются две точки. Найти вероятность того, что одна из них находится от левого конца отрезка на расстоянии меньшем h₁ = 0,5, а другая от правого конца отрезка на расстоянии меньшем h₂ = 2. Сделать чертёж.

4. В урне 10 шаров, среди которых 6 белых и 4 чёрных. Наудачу извлекают 5 шаров. Определить вероятность того, что: а) все шары белого цвета; б) 3 шара белых, а остальные чёрные; в) все шары одного цвета.

5. Из ящика, содержащего 3 чёрных и 5 белых шаров, случайно, без возврата, вынимаются 4 шара. Найти вероятность того, что число чёрных и белых шаров среди выбранных будет одинаково.

6. 12 команд спортсменов разбиты на 2 равные подгруппы. Определить вероятность того, что 2 наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе.

7. Студент может сдать зачёт по английскому языку с вероятностью 0,7, а по математике с вероятностью P. Определить P, если вероятность того, что студент получит зачёт хотя бы по одному из названных предметов, равна 0,85.

8. Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из 3-х частей, площади которых S₁: S₂: S₃ = 1 : 2 : 3. Если снаряд попал в 1-ю часть, цель уничтожается с вероятностью 0,9; если во вторую - 0,6; если в третью - 0,5. Найти вероятность уничтожения цели, если известно, что снаряд попал в цель.

9. Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 4-х посеянных семян взойдёт не менее 3-х.

10. Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0,02. Какова вероятность того, что в течение минуты позвонят 3 абонента?

11. Вратарь ловит мяч при пенальти каждый раз с вероятностью 0,7. Случайная величина X – число пропущенных мячей в серии из 4–х пенальти. Для случайной величины X найти: 1) ряд распределения; 2) функцию распределения; 3) M(X) и D(X).

12. Из букв разрезной азбуки, составляющих слов «ВСТРЕЧА», наугад берутся 2 буквы. Случайная величина X – число взятых гласных букв. Найти: а) ряд распределения; б) M(X), D(X).

13. Случайная величина X имеет функцию распределения

.

Найти: 1) параметр с; 2) функцию плотности f(x); 3) P(0 < X < 4); 4) математическое ожидание M(X) и дисперсию D(X); 5) графики функций F(x) и f(x); 6) функцию распределения F_Y(y) и плотность распределения f_Y(y) для случайной величины Y = 3X + 1.

14. Случайная величина X равномерно распределена на [a, b]. Дано математическое ожидание M(X) = 1 и дисперсия D(X) = . Найти: а) значения параметров a, b; б) функцию плотности f(x) и функцию распределения F(x); в) вероятность попадания случайной величины X на отрезок [– 1, 1]; г) построить графики функций f(x) и F(x); показать на них геометрический смысл P (– 1  X  1).

15. Вероятность попадания мячом при одном броске равна 0,3. Сделано 2 броска. Случайные величины: X – число попаданий; Y – разность между числом попаданий и промахов.

Найти: а) законы распределения для X и Y; б) закон распределения для двумерной величины (X, Y); в) основные характеристики: M(X), M(Y), D(X), D(Y), r(X, Y).

Типовой расчёт по теории вероятностей и случайным величинам

Вариант № 9